floyd演算法:
floyd演算法用來找出每對頂點之間的最短距離,它對圖的要求是,既可以是無向圖也可以是有向圖,邊權可以為負,但是不能存在負環(可根據最小環的正負來判定).
基本演算法:
floyd演算法基於動態規劃的思想,以 u 到 v 的最短路徑至少經過前 k 個點為轉移狀態進行計算,通過 k 的增加達到尋找最短路徑的目的.當 k 增加 1 時,最短路徑要麼不邊,如果改變,必經過第 k 各點,也就是說當起點 u 到第 k 個點的最短距離加上第 k 個點到終點 v 的最短路徑小於不經過第 k 個節點的最優最短路經長度的時候更新 u 到 v 的最短距離. 當 k = n 時, u 到 v 的最短路徑就確定了.
偽**:
圖的儲存用鄰接矩陣 gra 來記錄,如果 u 與 v 之間沒有邊直接相連,則 gra[u][v] = inf; dist 記錄最終的最短路. pre[i][j] 儲存 i 到 j 路徑中 i 的後乙個節點.
1): 初始化:將 gra 中的資料複製到 dist 中作為每對頂點間的最短路的初值, pre[i][j] = j;
2): k 從 1 到 n 迴圈 n 次, 每次迴圈中列舉圖中不同的兩點 u, v, 如果 dist[u][v] > dist[u][k] + dist[k][v], 則更新 dist[u][v] = dist[u][k] + dist[k][v], 更新 pre[u][v] = pre[u][k].
3): 最後 dist[u][v] 陣列中儲存的就是 u 到 v 的最短距離, u 到 v 的路徑, 則可以按照順序查詢就好了.
以圖為例:
有乙個如下的無向圖, 「d」陣列儲存最短路值, 「p」 陣列儲存最短路徑:
假設現在每對頂點之間的路徑只允許經過點 「1」 , 則更新後的每對頂點之間的距離:
這裡看到點 「2」 到點 「3」 的距離經過點 「1」 得到了更新,同時更新了用於記錄路徑的 p 陣列.
第二步,允許每對頂點之間的最短路徑經過點 「1」 和點 「2」,則更新後的陣列為:
可以看到得到更新的路徑為:
1 ---> 4, 經過點 「2」 得到更新
1 ---> 5, 經過點 「2」 得到更新
3 ---> 5. 經過點 「1 --- > 2」 得到更新
第三步: 允許經過點 「1」, 「2」 和點 「3」 則更新後的陣列為:
這則說明,上一步的最短路徑不需要更新.
第四步, 允許經過點 「1」, 「2」 , 「3」 和點 「4」 則更新後的陣列為:
可以看到 3 ---> 5 的路徑經過點 「4」 得到了更新(原先是 3 ---> 1 ---> 2 ---> 5, w = 9)
第五步, 允許任意兩點之間的最短路徑可以經過全部點,則更新後的陣列為:
這次得到更新的路徑為:
1 ---> 4 的路徑. 更新為 「1 ---> 2 ---> 5 ---> 4, w = 5」 (原路徑為 1 ---> 2 ---> 4, w = 7)
2 ---> 3 的路徑. 更新為 「2 ---> 5 ---> 4 ---> 3, w = 7」 (原路經為 2 ---> 1 ---> 3, w = 8)
2 ---> 4 的路徑. 更新為 「2 --> 5 --> 4, w = 2」 (原路徑為 2 ---> 4, w = 4)
無向圖反之亦然.
至此最短路徑就尋找完畢. dist[i][j] 陣列裡面儲存的就是 i 到 j 的最短距離.如果要查尋路徑, 則按照查陣列 pre 就好.比如查詢 「2」 到 「3」 的路徑:
則尋找 pre[2][3] = 5, 2 ---> 5
繼續尋找 pre[5][3] = 4, 2 ---> 5 ---> 4
繼續尋找 pre[4][3] = 3, 2 ---> 5 ---> 4 ---> 3
由於此時 i = j = 3, 則 「2」 到 「3」 的最短路徑已找到為: 2 ---> 5 ---> 4 ---> 3
1 #include 2posted @3 typedef long
long
ll;4
const
int maxn = 100;5
const
int inf = 0x3f3f3f3f;6
using
namespace
std;78
int pre[maxn + 3][maxn + 3], dist[maxn + 3][maxn + 3]; //
pre 儲存路徑; dist 儲存最短距離
9void floyd(int n, int gra[maxn + 3
]) 18}19
}20}21
}2223int pfpath(int u, int v)
28 cout << u <
3031
int gra[maxn + 3][maxn + 3
];32
intmain()
38for(int i = 0; i < m; i++)
42floyd(n, gra);43}
44return0;
45 }
2018-02-27 11:23
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Floyd 演算法求多源最短路徑
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