機器學習中的維數災難

在看機器學習的**時，經常會看到有作者提到「curse of dimensionality」，中文譯為「維數災難」，這到底是乙個什麼樣的「災難」？本文將通過乙個例子來介紹這令人討厭的「curse of dimensionality」以及它在分類問題中的重要性。

假設現在有一組**，每一張**裡有乙隻貓或者一條狗。我們希望設計乙個分類器可以自動地將**中的動物辨別開來。為了實現這個目標，首先需要考慮如何將**中的動物的特徵用數字的形式表達出來。貓與狗的最大區別是什麼？有人可能首先想到貓與狗的顏色不一樣，有人則可能想到貓與狗的大小不一樣。假設從顏色來辨別貓與狗，可以設計三個特徵：紅色的平均值，綠色的平均值和藍色的平均值，來決定**中的動物屬於哪乙個類：

1 if 0.5 * red + 0.3 * green + 0.2 * blue > 0.6:

2     return cat
3 else:
4     return dog

圖1 過了某乙個值後，分類器的效能隨著維數的增加不公升反降

從圖1可以看到分類器的效能隨著特徵個數的變化不斷增加，過了某乙個值後，效能不公升反降。這種現象稱為「維數災難」。

繼續之前的例子。假設地球上貓和狗的數量是無限的。由於有限的時間和計算能力，我們僅僅選取了10張**作為訓練樣本。我們的目的是基於這10張**來訓練乙個線性分類器，使得這個線性分類器可以對剩餘的貓或狗的**進行正確分類。我們從只用乙個特徵來辨別貓和狗開始：

圖2 從圖2可以看到，如果僅僅只有乙個特徵的話，貓和狗幾乎是均勻分布在這條線段上，很難將10張**線性分類。那麼，增加乙個特徵後的情況會怎麼樣：

圖3增加乙個特徵後，我們發現仍然無法找到一條直線將貓和狗分開。所以，考慮需要再增加乙個特徵：

圖3

圖4此時，我們終於找到了乙個平面將貓和狗分開。需要注意的是，只有乙個特徵時，假設特徵空間是長度為5的線段，則樣本密度是10/5=2。有兩個特徵時，特徵空間大小是5*5=25，樣本密度是10/25=0.4。有三個特徵時，特徵空間大小是5*5*5=125，樣本密度是10/125=0.08。如果繼續增加特徵數量，樣本密度會更加稀疏，也就更容易找到乙個超平面將訓練樣本分開。因為隨著特徵數量趨向於無限大，樣本密度非常稀疏，訓練樣本被分錯的可能性趨向於零。當我們將高維空間的分類結果對映到低維空間時，乙個嚴重的問題出現了：

圖5從圖5可以看到將三維特徵空間對映到二維特徵空間後的結果。儘管在高維特徵空間時訓練樣本線性可分，但是對映到低維空間後，結果正好相反。事實上，增加特徵數量使得高維空間線性可分，相當於在低維空間內訓練乙個複雜的非線性分類器。不過，這個非線性分類器太過「聰明」，僅僅學到了一些特例。如果將其用來辨別那些未曾出現在訓練樣本中的測試樣本時，通常結果不太理想。這其實就是我們在機器學習中學過的過擬合問題。

圖6儘管圖6所示的只採用2個特徵的線性分類器分錯了一些訓練樣本，準確率似乎沒有圖4的高，但是，採用2個特徵的線性分類器的泛化能力比採用3個特徵的線性分類器要強。因為，採用2個特徵的線性分類器學習到的不只是特例，而是乙個整體趨勢，對於那些未曾出現過的樣本也可以比較好地辨別開來。換句話說，通過減少特徵數量，可以避免出現過擬合問題，從而避免「維數災難」。

圖7圖7從另乙個角度詮釋了「維數災難」。假設只有乙個特徵時，特徵的值域是0到1，每乙隻貓和狗的特徵值都是唯一的。如果我們希望訓練樣本覆蓋特徵值值域的20%，那麼就需要貓和狗總數的20%。我們增加乙個特徵後，為了繼續覆蓋特徵值值域的20%就需要貓和狗總數的45%(0.45^2=0.2)。繼續增加乙個特徵後，需要貓和狗總數的58%(0.58^3=0.2)。隨著特徵數量的增加，為了覆蓋特徵值值域的20%，就需要更多的訓練樣本。如果沒有足夠的訓練樣本，就可能會出現過擬合問題。

通過上述例子，我們可以看到特徵數量越多，訓練樣本就會越稀疏，分類器的引數估計就會越不準確，更加容易出現過擬合問題。「維數災難」的另乙個影響是訓練樣本的稀疏性並不是均勻分布的。處於中心位置的訓練樣本比四周的訓練樣本更加稀疏。

圖8假設有乙個二維特徵空間，如圖8所示的矩形，在矩形內部有乙個內切的圓形。由於越接近圓心的樣本越稀疏，因此，相比於圓形內的樣本，那些位於矩形四角的樣本更加難以分類。那麼，隨著特徵數量的增加，圓形的面積會不會變化呢？這裡我們假設超立方體(hypercube)的邊長d=1，那麼計算半徑為0.5的超球面(hypersphere)的體積(volume)的公式為：

公式1

圖9從圖9可以看出隨著特徵數量的增加，超球面的體積逐漸減小直至趨向於零，然而超立方體的體積卻不變。這個結果有點出乎意料，但部分說明了分類問題中的「維數災難」：在高維特徵空間中，大多數的訓練樣本位於超立方體的角落。

圖10圖10顯示了不同維度下，樣本的分布情況。在8維特徵空間中，共有2^8=256個角落，而98%的樣本分佈在這些角落。隨著維度的不斷增加，公式2將趨向於0，其中dist_max和dist_min分別表示樣本到中心的最大與最小距離。

公式2因此，在高維特徵空間中對於樣本距離的度量失去意義。由於分類器基本都依賴於如euclidean距離，manhattan距離等，所以在特徵數量過大時，分類器的效能就會出現下降。

所以，我們如何避免「維數災難」？圖1顯示了分類器的效能隨著特徵個數的變化不斷增加，過了某乙個值後，效能不公升反降。這裡的某乙個值到底是多少呢？目前，還沒有方法來確定分類問題中的這個閾值是多少，這依賴於訓練樣本的數量，決策邊界的複雜性以及分類器的型別。理論上，如果訓練樣本的數量無限大，那麼就不會存在「維數災難」，我們可以採用任意多的特徵來訓練分類器。事實上，訓練樣本的數量是有限的，所以不應該採用過多的特徵。此外，那些需要精確的非線性決策邊界的分類器，比如neural network，knn，decision trees等的泛化能力往往並不是很好，更容易發生過擬合問題。因此，在設計這些分類器時應當慎重考慮特徵的數量。相反，那些泛化能力較好的分類器，比如***** bayesian，linear classifier等，可以適當增加特徵的數量。

如果給定了n個特徵，我們該如何從中選出m個最優的特徵？最簡單粗暴的方法是嘗試所有特徵的組合，從中挑出m個最優的特徵。事實上，這是非常花時間的，或者說不可行的。其實，已經有許多特徵選擇演算法(feature selection algorithms)來幫助我們確定特徵的數量以及選擇特徵。此外，還有許多特徵抽取方法(feature extraction methods)，比如pca等。交叉驗證(cross-validation)也常常被用於檢測與避免過擬合問題。

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