題記：寫這篇部落格要主是加深自己對訊息**的認識和總結實現演算法時的一些驗經和訓教，如果有錯誤請指出，萬分感謝。
八卦訊息傳播時光
一．問題描述
假如我們班有n個mm，每個mm都有乙個獨家八卦訊息。兩個mm可以通過**聯絡，一通**將使得兩邊都獲知到對方現在已知的全體訊息。要想全體n個mm都知道全體n條八卦訊息，最少需要多少通**？請給出你們的通話方案。
二．假設
1、每位mm對打**都沒有膩煩情感，即多打、少打無所謂。
三．問題分析
1、當n很小時我們很容易通過列舉的方法找出最好通話方案：
a1=0,a2=1,a3=3，a4=4，a5=6，a6=8…
2、上面對於n比較大的情況做進一步分析：
要想讓n個mm共享全體n條八卦訊息，最笨的方法莫過於每兩個mm之間都通一次**，這樣共需要n*(n-1)/2通**。但事實上完全沒有必要這樣做，因為在一次通話中如果通話兩邊所掌握的八卦訊息不止一條，那麼通話所交換的訊息就會有多條，從而提高通話的效率、減少通話次數。處理這道題的關鍵所在就是如何設計通話方案，使得每次通話交換的資訊量到達極大，使通話次數到達極小。
四．模型建立
基於上面的設法，可以先把全體訊息集中於乙個或幾個人，然後再由這些訊息彙總人把訊息傳給全體人。設n個mm中有m個訊息彙總人，她們共享全體訊息需要打an通**。
通話方案如下：
第一步，剩下的n-m個mm每人從m個訊息彙總人中隨機選擇乙個人通**。這樣一來m個訊息彙總人就掌握了全體n條八卦訊息，並且她們每人所掌握的訊息互不重疊，是互補的。
第二步，m個訊息彙總人通過打**共享全體八卦訊息。
第三步，作為訊息彙總人的m個mm再通過**將自己新得知的八卦新聞告訴最開始打**給自己的mm，使她們也掌握全體n條訊息。
五．模型求解與結果分析
按照上面的通話方案，第一步需要n-m通**，第二步需要am通**，第三步需要n-m通**。
故有an=2*
（n-m）+am，進一步化簡得
an=2*n-
（2*m-am）。
即當mm的個數為n時，共享全體八卦訊息共需要2*n-（2*m-am）通**。若要使通話次數最小，就要求2*m-am最大。因此取多少個mm作為訊息彙總人能使得2*m-am最大就成為處理這個問題的關鍵，它反應了mm們之間通話的效率。記em=2*m-am。
當有乙個訊息彙總人即m=1時，e1=2*1-a1=2;
當有兩個訊息彙總人即m=2時，e2=2*2-a2=3；
m=3時，e3=2*3-a3=3；
m=4時，e4=2*4-a4=4；
m=5時，e5=2*5-a5=4；
m=6時，e6=2*6-a6=4；
由歸納法知當m>=4時em有最大值4、an有最小值2*n-4，即當有大於或等於4個訊息彙總人時可通過上述通話方案使n個mm通過最少的**數共享全體八卦訊息。此時共需要2*n-4次通話。
六．進一步**
上面我們證明，2n-4已是最少的了。證明方法很多，也都很龐雜。最常見的證明由brenda baker和robert shostak在2023年給出。
每日一道理
父親對於兒子來講，是座聳立的高山，而兒子只是顆石子，源於山，卻並不了解山。生活中諸多愛的密碼，是需用細節來解讀的，在親情的沃土上，要想搞得最美的果實，惟有期待那存在於瞬間的心與心的共鳴，愛與愛的默契。
證明的關鍵在於這個引例：如果我們可以在2n-5次**以內到達要求，則整個過程中絕對不會有人在**中聽到對方八卦自己的訊息。我們將用反證法來證明這一點。首先找出最小的n使得n個人可以在2n-5次通話中傳遍訊息。如果某個人g聽到了自己的訊息，表明整個過程中存在這麼一條通話線路：(g - g1)(g1- g2)...(gr - g)。現在，我們把g這個人去掉，再重新安排一些通話線路，使得剩下的n-1個人一樣能在2(n-1)-5次通話後傳遍資訊，從而與n的最小性牴觸。直接疏忽上述「通話環」中的(g - g1)和(gr - g)兩條邊。對於其他某個人p和g之間的通話(p-g)，找出(p-g)通電後最早湧現的「通話環」中的其中一鏈（比如(gi - gi+1)）。在新方案中，讓p把**打給gi。這樣，原方案中任何一條由p1帶給g再帶給p2的訊息，都由對應的gi、gj以及他們之間的鏈條來完成，即(p1 - gi)(gi - gi+1) ...(gj - p2)。新方案與原方案一樣滿足要求，且通話次數減少了兩次，一樣小於等於2n-5。
每個人都不會聽到自己的訊息，這可以推出乙個很有趣的東西：記一通**的兩邊為a和b，則要麼a和b都還沒打完，要麼這通**對兩邊來講都是最後一通。原因很簡單，假如這通**是a的最後一電，這表明a和b都知道了全體的訊息，但b還要給別人打**，別人就會聽到自己的訊息。類似地，一通**的兩邊要麼都是第一次打，要麼都不是第一次打：假如a的第一通**是跟b打的，但b之前已和c通過話了，那a的訊息將永遠與c的訊息一起傳遞，因此終究c聽到a的訊息時也會聽到她自己的。
於是，對於全體**次數不超過2n-5的情況，n只能是偶數。並且情況只多是這樣：先兩兩配對撥打n/2通「童貞電」，然後中間打很多「中介**」，最後再兩個兩個地打n/2個「最後一電」。由於全體的「童貞電」和「最後一電」加起來恰好有n通，那麼「中介**」最多只能有n-5通。又由於連通全體n個點最少要n-1條邊，可知這些「中介**」構成了最少5個連通分量。對於任何乙個人來講，在任何「最後一電」撥打之前，她的訊息最多隻可以在其中兩個連通分量內傳遞（她所在的連通分量和她「童貞電」的物件所在的連通分量）；類似地，全體「童貞電」都打完了後，每個人都只能收到兩個連通分量內的訊息（她自己的和「最後一電」的物件的）。對於乙個特定的人g來講，除去她自己、「童貞電」的物件和「最後一電」的物件所在的連通分量，最少還有兩個連通分量，裡面的全體「中介**」對她沒有任何意思：這些「中介**」既不會把她的訊息傳出去，也不會把別人的訊息帶給她。設與g不相干的**通數為c(g)。
反過來，又有多少通**與g有關呢？讓我們繼承把目光停留到g身上。要想把她的訊息傳給全體人，最少需要n-1通**；要想讓全體訊息都傳到她那裡，一樣也得要n-1通**。某些**可以同時起到這兩種作用，但有乙個前提條件：這些**必需是她親自打的。否則，她自己的訊息將「**」進那些將會傳給她的訊息裡，從而與引理牴觸。假設她自己打了v(g)通**，那麼總共有2n-2-v(g)通**擔任傳出她的訊息並把別人的訊息傳給她。由2n-5 ≥ 2n-2-v(g)+c(g)可知v(g) ≥ 3+c(g) ≥ 3。既然每個人都打了最少3次**，這表明每個人都打過「中介**」，直接推出每個連通分量都有最少一條邊。前面說了，c(g)包含了最少兩個連通分量中的全體邊，因此c(g)≥2。因此，v(g)≥5。每個人都打了最少5次**？這當然是不可能的，這將致使總的**數目比2n還大了。
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