這是另乙個關於follow集和first集的求解文章，兩個結合著看效果更佳
前段時間為了做編譯器，猛啃了一下編譯原理。語法分析部分用的是比較簡單上手的ll(1), 自認為ll(1)的理論部分理解得不錯，在這裡寫出來跟大家share一下。
關於什麼是ll(1)，就不贅述了，書上也說得很清楚，就是從左向右掃瞄輸入，然後產生最左推導(就是每次都把最左邊的非終結字元用產生式代替)。
比如有產生式 a-> + t | - p , 當我們讀到串為 +開頭的時候，我們可以很直接地判斷選擇 a-> + t 這個生成式；串為- 開頭的時候，選擇 a-> - p 這個生成式。但如果文法是類似於a →t | p 這樣的都以非終結字元開頭的呢？一眼就很難判斷的，我們就需要知道，t 是怎麼展開的，如果 t -> a |b ，p->c|d , 那當串以a或b開頭的時候，我們顯然需要選擇a →t ，而當串以c或d開頭的時候，就應該選擇a->p 這個生成式了。也就是說，我們需要知道t這個分支和p這個分支，都可以用什麼終結字元開頭。因此我們需要計算每個生成式的開始記號的集合，也就是first集合。
下面給出first集合的演算法：
•直接收取：如果存在 t→a … (a為終止符), 把a直接放到first(t)中,很顯然a →t | p →a…|p，遇到a的時候走t這條分支
•反覆推送： t→e … ，把first(e)的元素加入到first(t)中
這裡舉個簡單的例子：四則運算
•exp→exp addop term | term
•addop→ +| -
•term →term mulop factor | factor
•mulop→∗|/
•factor →(exp)|
把它分解後變成
(1)exp→exp addop term
(2) exp→term
(3) addop→+
(4) addop→-
(5) term→term mulop factor
(6) term→factor
(7) mulop→∗
(8) mulop→/
(9)factor→(exp)
(10) factor→
最容易算的是first(addop)和first(mulop)，因為他們的分支都直接以終結字元開始。
first(mulop)=, first(addop)=
first(factor)=
term的分支一邊是term自己（就是說把term的first內容加到本身，不對自己產生變化），一邊是factor(把factor的first集合內容加到term的first集合中)，因此first(term)=first(factor) 同理first(exp)=first(term)
當然這個例子只是為了說明first集合的計算，本身存在左遞迴，是不能做ll1運算的。
其實follow集合是專門為了空操作而存在的
我們可以來看這個例子：
•a→tb | p
•t→ε | a
•p→c
我們知道first(t) = frist(p) = ,當遇到a開頭的串的時候，選擇a→tb，遇到c開頭的串，選擇 a-> p
但其實，由於ε在first(t) 裡，我們可以得到
a→tb | p →(ε│a)b | p → (b| ab) | c
也就是說，當串以b開頭的時候，其實選擇的也是a→tb
所以，為了特殊處理當乙個非終結字元可以推出空時候的情況，我們需要知道它後面緊跟的是什麼終結符合，這個終結符號也是能被這個串所直接接收的。
•定義：follow(a)是可能在某些句型中緊跟在a右邊的終結符號的集合
follow集合的演算法
s→…u…算follow(u)
1.如果存在乙個產生式 a→…up，那麼first(p)中除了ε 之外都應該放入follow(u)中
2.如果存在乙個產生式 a→…u，或者存在產生式 a→…up,且first(p)中包含ε，則follow(a)中的所有元素都在follow(u)中
3.將$放入follow(s)中，其中s是開始符號，$是輸入右端的結束標識
2的推導： s->eat, a可以用…u代替，s->e…ut,所以a後面出現的終止符和u後面出現的終止符一樣
2和3可得出： s->…u,那麼follow(s)的元素就在follow(u)中，所以$在follow(u)中
還是剛才的例子：
(1)exp→exp addop term
(2) exp→term
(3) addop→+
(4) addop→-
(5) term→term mulop factor
(6) term→factor
(7) mulop→∗
(8) mulop→/
(9)factor→(exp)
(10) factor→
exp為開始符號，所以把$放入follow(exp)中，由式(1)知first(addop)要加入follow(exp)中，此時follow(exp)=,同理，follow(addop)=,由式(2)，把follow(exp)加入到follow(term)中……
由first集合和follow集合就可以得出我們需要的**分析表了，先來感官性地認識一下：
我們可以看到**的y方向是所有的非終結符(也就是所有生成式的左邊部分的集合)，x方向是所有終結符。
**的每一項表示，當我目前在n這個非終結符，遇到t這個終結符之後，應該選擇的生成式。 比如在stmt時候，如果遇到s，則選擇stmt->s這個生成式。
從開始符號出發，每遇到乙個輸入，就判斷往哪邊走，最後走完為止，如果中間沒有路可以走了，就說明語法有錯。
下面來看**分析表是怎麼生成的。其實跟剛才first集合和follow集合的思路一致。
m[n,t] 其中n為非終止符，t為終止符
演算法：為每個非終結符a和產生式 a→ α重複以下兩個步驟：
1）對於first(α)中的每個記號a，都將 a→ α 新增到專案 m[ a, a ]中（即，當輸入中遇到a，選擇a→ α 這一產生式）
2）如果ε在first(α)中，對於follow(a)中的每個元素a，(記號或者$), 都將a→ α 新增到專案 m[ a, a ]中。
就是正常的話直接看終結符，在哪個分支就往哪個分支走。但如果這個分支的first集合裡有ε，那麼需要看它後面的終止字元集合。
例子：e→ne′
e′→ +ne′ | ε
first(e) = first(e』)=
follow(e) = follow(e』) =
m[n,t]n+
$ee→ne′
e'e′→ +ne′
e′→ε
根據它來做的出棧入棧如下，比如分析 3+4=5（棧中的#只是為了計算結果，可以不理）
首先把$和開始字元e入棧，然後讀取輸入串。第乙個字元是3，也就是n，m[e,n]是e→ne′，所以我們把e出棧，把n和e』入棧。從右到左入棧，即先入e』，再入n。這個時候，輸入n和棧頂n匹配，把n出棧，讀取字串的下乙個字元，即+，棧頂的e'遇到+根據**知道應該選擇e′→ +ne′ ，把e』出棧，e』，n，+入棧，+和輸入的+匹配，出棧，頂端為e』.......依次下去，直到匹配結束。
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