數形結合
數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究物件，它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的物件可分為數和形兩大部分，數與形是有聯絡的，這個聯絡稱之為數形結合，或形數結合。作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形:或者借助於數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關係，即數形結合包括兩個方面:第一種情形是"以數解形"，而第二種情形是"以形助數"。"以數解形"就是有些圖形太過於簡單，直接觀察卻看不出什麼規律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。
基本思想
我國著名數學家華羅庚曾說過:"數形結合百般好，隔裂分家萬事休。""數"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關係。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來，通過"以形助數"或"以數解形"即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使複雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現優化解題途徑的目的。
應用方法
應用要點
1. 數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助於把握數學問題的本質;另外，由於使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。
2. 所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關係，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，實現數形結合。
3.巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究"以形助數"。
4.運用數形結思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免複雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。
5、數形結合思想的**
數形結合思想簡而言之就是把數學中"數"和數學中"形"結合起來解決數學問題的一種數學思想。數形結合具體地說就是將抽象數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，通過"數"與"形"之間的對應和轉換來解決數學問題。主要有三種型別:以"數"化"形"、以"形"變"數"和"數""形"結合。
應用型別
(1)以"數"化"形"
由於"數"和"形"是一種對應，有些數量比較抽象，我們難以把握，而"形"具有形象，直觀的優點，能表達較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，因此我們可以把"數"的對應--"形"找出來，利用圖形來解決問題。我們能夠從所給問題的情境中辨認出符合問題目標的某個熟悉的"模式"，這種模式是指數與形的一種特定關係或結構。這種把數量問題轉化為圖形問題，並通過對圖形的分析、推理最終解決數量問題的方法，就是圖形分析法。數量問題圖形化是數量問題轉化為圖形問題的條件。解乙個數學問題，一般來講都是首先對問題的結構進行分析，分解成已知是什麼(條件)，要求得到的是什麼(目標)，然後再把條件與目標相互比較，找出它們之間的內在聯絡。因此，對於"數"轉化為"形"這類問題，解決問題的基本思路: 明確題中所給的條件和所求的目標，從題中已知條件或結論出發，先觀察分析其是否相似(相同)於已學過的基本公式(定理)或圖形的表示式，再作出或構造出與之相適合的圖形，最後利用已經作出或構造出的圖形的性質、幾何意義等，聯絡所要求解(求證)的目標去解決問題。
(2)以"形"變"數"
雖然形有形象、直觀的優點，但在定量方面還必須借助代數的計算，特別是對於較複雜 的"形"，不但要正確的把圖形數位化，而且還要留心觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質或幾何意義，把"形"正確表示成"數"的形式，進行分析計算。
(3)"形""數"互變
"形""數"互變是指在有些數學問題中不僅僅是簡單的以"數"變"形"或以"形"變"數"而是需要"形""數"互相變換，不但要想到由"形"的直觀變為"數"的嚴密還要由"數"的嚴密聯絡到"形"的直觀。解決這類問題往往需要從已知和結論同時出發，認真分析找出內在的"形""數"互變。一般方法是看"形"思"數"、見"數"想"形"。實質就是以"數"化"形"、以"形"變"數"的結合。
數形結合思想是一種可使複雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用的數學思想方法。
數形結合是乙個數學思想方法，包含"以形助數"和"以數輔形"兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形:或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯絡，即以形作為手段，數為目的，比如應用函式的影象來直觀地說明函式的性質;或者是借助於數的精確性和規範嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。
數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的影象結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點:第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義;第二是恰當設參、合理用參，建立關係，由數思形，以形想數，做好數形轉化;第三是正確確定引數的取值範圍。
數形結合 Erratic Expansion
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