異或運算
異或運算定義：異或運算方法是乙個二進位制邏輯運算，設其運算符合為^，a,b為二進位制數，則a,b的異或為a^b。
其運算滿足如下：1^1=0,0^0=0,1^0=1,0^1=1，即 相同的為0，不相同為1。
a、b按低位到高位進行1位的二進位制運算（高位沒有則補0）即得a^b的值。
public class xor
}
100010
10111
110101
1、交換律：a^b=b^a （根據定義顯然可得）
2、結合律：a^b^c=a^(b^c) （根據定義顯然可得）
3、對於任何數a，都有a^a=0，a^0=a（根據定義顯然可得）
3、自反性： a^b^b=a (a^b^b=a^(b^b)=a^0=a)
尼姆博奕(nim game)：有三堆各若干個物品（顯然每堆的物品數大於0），兩人輪流從某一堆取任意多的物品，每次最少取乙個，不設上限，最後取光者獲勝。
（一般談論這個博弈時，都會先談到巴什博奕、威佐夫博弈）
設（a,b,c）為三堆石子的個數（a>=0；b>=0；c>=0），先手為 甲；後手為乙。
必敗局勢，一般稱為奇異局勢，顯然（0,0,0）是乙個奇異局勢（因為誰面對這種局勢，都無法做到遊戲給出的條件：每次最少取乙個）
討論局勢是必敗還是必勝，都是相對於首先面對此局勢者來說。因此站在甲的角度來討論。甲面對
（0,0,0）必輸。
當甲面對（a,a,0），甲每次拿x，乙隨後也跟著拿x，因此甲面對的局勢始終是（a-x,a-x,0）。因此轉化為甲最終都會面對
（0,0,0），因此甲必輸。
因為遊戲是兩個人交替進行。由此可得，如果局勢（a,b,c）是必勝局勢，那麼甲就有策略，使得拿走某堆中的x個物品後，一般地設為（a-x,b,c）=(a',b,c)。此時
(a',b,c)就是乙個必敗的局面。反之，必敗的局面可以變為必勝的局面。由此，我們尋找乙個函式f，當
f(a,b,c)=1時，稱（a,b,c）為必勝局面，
f(a,b,c)=0時，稱（a,b,c）為必敗局面(
奇異局勢
)。更一般地，考慮n>=2堆物品的情況。每堆數量為（a1,a2,...,an） (1,2,..,n一般在數學中用下標表示)
定理：
（a1,a2,...,an）為
奇異局勢當且僅當a1^a2^...^an=0
證明：（a1,a2,...,an）=（0,0,...,0）時顯然成立。
當（a1,a2,...,an）不為（0,0,...,0）時，若a1^a2^...^an=k<>0，顯然k的最高位為1。
則一定存在乙個ai(1<=i<=n)，它在k的最高位的值為1。（若a1,a2,...,an在k的最高位處都為0，那麼異或運算規則，不可能得到k的最高位為1）
因此，ai^k
設ai'=ai^k，則a1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^...^ai^...^an^k (代入ai'=ai^k，並由異或的交換律得到
)=k^k=0
因此當a1^a2^...ai^...^an=k
<>0時，存在移動ai->ai' （即移動ai-ai'>0）使得
a1^a2^...ai^...^an=0
若a1^a2^...ai^...^an=0，則不存在合法移動，使得a1^a2^...ai『^...^an=0。
因為若a1^a2^...ai^...^an=
a1^a2^...ai』^...^an=0，則兩邊同時異或a1,可得
a2^...ai^...^an=
a2^...ai』^...^an，
繼續兩邊異或a3...an(除了共有的ai,ai')，由此可推出ai=ai'。顯然這不是合法的移動。
由以上證明得出
1) a1^a2^...ai^...^an=k
<>0，一定存在一步特定移動使得
a1^a2^...ai^...^an=0；
2) a1^a2^...ai^...^an=0，不存在一步合法移動使得
a1^a2^...ai『^...^an再次為0，
即當 a1^a2^...ai^...^an=0時，任意移動一步後都會變為 a1^a2^...ai』^...^an<>0。
由1）、2）可得
3)當a1^a2^...ai^...^an=0時，下一步必然為a1^a2^...ai』^...^an<>0，再下一步可以變為a1^a2^...ai』』^...^an=0。
必要性：由（a1,a2,...,an）為
奇異局勢（必敗局勢），考慮甲先乙後。
假設a1^a2^...ai^...^an<>0,那麼甲通過移動，可使
a1^a2^...ai『^...^an=
0。如此一直下去，每次乙都只能面對
a1^a2^...ai^...^an=
0的局勢。
由於遊戲的結束點必然為
（0,0,...,0），因此乙最終將面對
（0,0,...,0）。在乙面對
（0,0,...,0）的上一步，設為（b1,...,bn）,此時b1^...^bn<>0。
但乙最終先面對了
（0,0,...,0），顯然是甲勝，這與
（a1,a2,...,an）為
奇異局勢（必敗局勢，甲必敗）矛盾。
因此必有
a1^a2^...ai^...^an=0。
充分性：由
a1^a2^...^an=
0，由3）乙始終有辦法讓甲面對的局勢始終是
x1^x2^...^xn=
0。因此甲最終面對的必然是（0,0,...,0)的局勢， 而
（0,0,...,0)就是個奇異局勢。
證畢。
尼姆博奕（Nimm Game）
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尼姆博弈（巴什博奕）
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巴什博奕 尼姆博弈
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