學演算法時候，求素數總是一道逃不掉的練習題。
好久沒寫演算法相關的練習了，學習了python 就拿它來練一下手吧。
在求素數之前，首先我們了解一下 什麼是素數。
按維基百科的說法是：
素數指在大於1的自然數中，除了1和此整數自身外，無法被其他自然數整除的數（也可定義為只有1和本身兩個因數的數）
因此我們可以總結為以下幾點：
1. 素數是自然數，且大於1
2. 素數只能被1和其本身整除
3. 最小的素數是2
4. 這也是由2延伸，素數一定時奇數，因為合數能比2整除
那麼也就是說素數實際上是奇數的乙個真子集，既然這樣我們不妨從奇數裡面把素數挑出來。
例如乙個連續的奇數集合，我們需要把裡面的素數找出來：
[3,5,7,9,11,13,15,17,19,21]
首先，判斷乙個數x是素數的方法是，分別用2 . . sqrt(x)去試除x，看能否被整除，一旦出現被整除的情況，那麼說明x不是素數。若全部試除過都沒被整除，說明x是素數。
eg：def isprime(x):
for i in range(2,math.sqrt(x)):
if x % i == 0:
return 1
return 0
事實上在用2 . . sqrt(x) 重複去試除x 是乙個不合理的過程，在上面我們分析過，素數其實是奇數的乙個真子集，那麼肯定不能被2整除，那麼用2、4、6、8等偶數去試除x其實是在做無用功，因此我們在試除時候其實是可以忽略除數是偶數的情況。我們可以作以下調整：
eg：def isprime(x):
if x % 2 == 0:
return 1
for i in range(3,math.sqrt(x),2):
if x % i == 0:
return 1
return 0
這樣就省去了除數是偶數的情況。
另外，我們看一下合數的組成。
4=2*2，6=3*2，8=2*2*2，9=3*3，15 = 3*5
每個合數總是能分解為幾個質因子，因此，我們拿合數作為除數去試除x時候也是不太合理的，也做了不少無用功，我們可以考慮優化。
首先合數可以分解為幾個質因子（y= a*b*c 其中a、b、c都是素數），那麼判斷x是否能被y整除時候，實際上是判斷x是否能分別被a，b，c整除，值得注意（y = a*b*c 即有a綜上所述，我們判斷x是否是素數時候，我們只需用2 . . sqrt(x)之間的素數去試除x 即可。
但是問題來了，如何求2 . . sqrt(x)之間的素數。
例如給定乙個x = 23 判斷它是否是素數。
方法一：
用 2 和 2 . . sqrt(23)之間的奇數去試除，嘗試次數是 2 次
方法二：
用 2 . . sqrt(x)之間的素數去試除，首先得求出2 . . sqrt(2) 之間的素數2、3 次數為2、再用求出的素數去試除x、次數再加2 所以總次數是4， 很明顯這樣的效率更低了。
我們怎樣提高方法二的效率呢？
呵呵。。。給我一張小於x 的素數表，我就可以直接省去了之前求2 . . sqrt(x) 之間的素數這個步驟了，是不！！ 那麼這樣會不會快很多呢？
給定x = 107
用方法一我們所用試除次數是5次 分別要試除（2、3、5、7、9）
用方法二（假定我們是已經知道2 . . sqrt(x)之間素數的情況）所要試除的次數是4 ，分別要試除（2、3、5、7）
或許這樣還不明顯 再來，
給定x = 1999
用方法一所要試除次數是22次，分別要試除（2、3、5、7、9、、、23）
用方法二（假定我們是已經知道2 . . sqrt(x)之間素數的情況）所用次數是15次。
由此看出，隨著x的不斷增大，方法二的優勢不斷地擴大。
但問題是我們怎麼保證我們每次判斷x是否是素數時候，確保已經知道2 . . sqrt(x) 之間的素數。
最簡單的方法是維護一張素數表，那麼怎樣快速得到一張素數表呢？
1. 給定乙個自然數序列2..n
2. 首先把能被2整除的所有數去掉，當然2除外
3. 類似的，把能被3整除的數去掉，同樣3除外
4. 依次類推，一直到sqrt(n)
5. 篩選剩下的就是素數
快速得到素數表實現如下：
def prime():
num = 1000
data = [2*i+1 for i in range(num)]
data[0]=2
for i in range(4,len(data)):
j = 1
while data[j] <= math.sqrt(data[i]):
if data[j] != 0 and data[i]%data[j]==0:
data[i] = 0
continue
j += 1
data = [x for x in data if x!=0]
print data
這樣就得到了2 . . 2*num+1 之間的素數，其實這也是利用了我們上面提到的方法二求素數，判斷乙個數是否是素數，則用2 .. sqrt(x)之間的素數去試除，這樣效率是比單個單個去求省去不少時間。你說呢是不是？。。。。
好吧。。。廢話扯了一大堆。。。。
只為了說明乙個事實，
當你要判斷乙個數是否是 素數時，可以用2 和 2 . . sqrt(x)之間的奇數去試除，這樣效率比較高
當你要連續判斷若干（我指的若干是比較大的數量級）個數是否是素數時，你不妨先維護自己的一張素數表，在已知素數表的情況下幫你判斷若干個數是否是素數時，效率可以大大提高。
以上純屬扯淡，各位看官，笑笑就好，不必當真。
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