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題目描述

現在有兩個好友a和b，住在一片長有蘑菇的由n＊m個方格組成的草地，a在(1,1),b在(n,m)。現在a想要拜訪b，由於她只想去b的家，所以每次她只會走(i,j+1)或(i+1,j)這樣的路線，在草地上有k個蘑菇種在格仔裡(多個蘑菇可能在同一方格),問：a如果每一步隨機選擇的話(若她在邊界上，則只有一種選擇)，那麼她不碰到蘑菇走到b的家的概率是多少？

輸入描述:

第一行n，m，k(1 ≤ n,m ≤ 20, k ≤ 100),n,m為草地大小，接下來k行，每行兩個整數x，y，代表(x,y)處有乙個蘑菇。

輸出描述:

輸出一行，代表所求概率(保留到2位小數)

示例1

輸入

2 2 1

2 1輸出

0.50

分析：首先想到的辦法是，求出從左上角到右下角所有的路徑數目，以及不包含一顆蘑菇的路徑數目，二者相除，便得到了a碰不到蘑菇走到b的家的概率，這可以用dfs來解決，三下五除二，就乙個dfs出來了：

void awalkdfs(vector
> &map,int i,int j,int pathmushromcount,int &a,int &b)
awalkdfs(map, i, j + 1, pathmushromcount + map[i][j], a, b);//toward the right
awalkdfs(map, i+1, j, pathmushromcount + map[i][j], a, b);//toward the down}}

完全是瞎做！這樣的dfs 是指數時間，因為要窮舉所有的可能，沒有剪枝，別說答案是否正確，就連時間都不允許！

於是乎，稍加思考，就可以改進為動態規劃：

(1) 假設 fi

j 表示到達ma

p[i]

[j] 的總路徑數目，由於每一步只能想右或向下，則它依賴於左邊和上邊的狀態，即到達fi

j 的路徑數等於到達左邊fi

,j−1

的路徑數加上到達到fi

−1,j

的路徑數：fi

j=//************2. initialize the first row**************

for (int j = 1; j0][j] = 1;

h[0][j] = h[0][j - 1];

if (map[0][j]>0) h[0][j] = 0;

}for (int i = 1; ifor (int j = 1; j1][j] + p[i][j - 1];

if (map[i][j]>0) h[i][j] = 0;

else

}return (double)h[n - 1][m - 1] / p[n - 1][m - 1];

}然而求解的結果任然是錯誤的，不過，求解的路徑數目是正確的！而且求解路徑數目的速度降到了o(

nm) !

進一步分析題目發現，其實發現a走到每乙個格仔的概率p是不一樣的，拿其中乙個算例來分析，如圖所示：

比如邊界上的格仔:

(1) 左上角map[0][0]=0, 到達的概率是1;

(2) 第一行，對於任意p[0][j],它只能從左邊一格到達，如果格仔僅有一行，a在map[0][j] 的時候只能走到map[0][j+1]。

其餘邊界分析類似…..

對於最右下角（目標）格仔，格仔map[n-1][m-2] (下標從0開始)、map[n-2][m-1] 都只能以1的概率到達此格仔。

基於這樣的分析，假設gi

j 表示

a 到達格仔ma

p[i]

[j]不碰見蘑菇的概率，同樣，除去邊界，它可以由gi

−1,j

及gi,

j−1 表示，所以有以下的狀態方程gi

j=⎧⎩

⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪1

,i=j

=0,(

第乙個格

子不能有

蘑菇，否

則後面都

不用打算

了)0，

map[

i][j

]>0,

(若某個

格仔有蘑

菇，則到

達此格仔

不碰到蘑

菇的概率

為0)1

2gi−

1,j+

12gi

,j−1

,i>=1,

j>=11

2g0,

j−1,

i=0,

j>=1,

n>1,

(上圖中

第一行綠

色區域)

g0,j

−1,i

=0,j

>=1,

n=1,

(僅一行

時左邊格

只能向右

，即以1

的概率到

達(i,

j))1

2gi−

1,0,

j=0,

i>=1,

m>1(

上圖中第

一列綠色

區域)g

i−1,

0,j=

0,i>=1,

m=1,

(僅一列

時左邊格

只能向下

，即以1

的概率到

達(i,

j))g

i−1,

j+gi

,j−1

,i=n

−1,j

=m−1

,n,m

>1,

(圖中的

目標格仔

) 上面狀態方程看似繁雜，但核心思想只有乙個：

gij

由gi−

1,j及

gi,j

−1轉換

而來

只不過不同的位置，這個轉換概率不同，所以導致了一系列邊界的處理。

最終的**如下（牛客網測試通過，上圖就是所得出的動態規劃表資料）：

double awalk_dp(vector
> &map)
//************2. initialize the first row**************
for (int j = 1; jif (n>1) p[0][j] = p[0][j-1]*0.5;
else     p[0][j] = p[0][j - 1] * 1.0;
if (map[0][j]>0) p[0][j] = 0.0;
}//************3. calculate no-boundary area ***********
for (int i = 1; i1; ++i)
for (int j = 1; j1; ++j)
//***********4 coping with boundary*********
for (int i = 1,j=m-1; j>0 && i < n-1; i++)
for (int j = 1,i=n-1;i>0 && j < m-1; j++) 
if (n>1 && m>1)
p[n - 1][m - 1] =1.0 * p[n-2][m-1] + 1.0*p[n-1][m-2];
return  p[n-1][m-1];
}

此題其實是較簡單的dp問題，難點在於它是動態規劃與概率的結合，只要意識到了到達每個點的概率不同就成功了一半！

最後，總結一點，程式設計更多需要一種邊界思維，好多問題都需要處理好邊界，才能使得**健壯、魯棒，除錯演算法程式最快的就是每一步都要有數學思維的參與，這可以很好地解決指標越界等問題！

錯誤之處，在所難免，不吝賜教！

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