快速排序及快速選擇終極版

快速排序（quick sort）是一種非常經典高效的排序演算法，採用了基於比較的遞迴分治策略，平均情況下複雜度為o(nlogn)，但最壞情況下會退化到o(n^2)。

在筆試面試過程中經常會問到有關於快速排序的問題，甚至要求面試者當場手寫**，本文將簡單介紹快排原理並提供具體的**實現，以及其在求第n小的數中的經典應用。

c++的stl已經提供了快速排序的函式sort，在實際場合如比賽的過程中可以直接進行呼叫。

使用快速排序函式需要使用#include 包含標頭檔案，使用時把陣列的頭尾指標傳遞進去即可。注意尾指標的元素並不參與排序。

sort預設完成的是從小到大的排序，需要其他規則的排序時可以自定義排序的比較函式，使用比較函式可以對任意的自定義型別進行排序。

具體的使用方法如下所示:

bool cmp(const int &a, const int &b) //比較函式
void test1()
, n = 5;
cout << "原始：";
for (int i = 0; i < n; i++) cout << x[i] << " ";
cout << endl;			//原始：4 3 1 2 5
sort(x, x+n);		//從小到大
cout << "公升序：";
for (int i = 0; i < n; i++) cout << x[i] << " "; 
cout << endl;			//公升序：1 2 3 4 5
sort(x, x+n, cmp);		//根據cmp規則排序，這裡是從大到小
cout << "降序：";
for (int i = 0; i < n; i++) cout << x[i] << " ";
cout << endl;			//降序：5 4 3 2 1
}

快速排序是乙個遞迴的思想，首先選擇乙個數作為基數，把陣列中小於它的數放在它的左邊，把大於它的數放在它的右邊，然後對左右兩邊的數遞迴進行排序。

演算法的關鍵部分是實現陣列的劃分，即怎麼把陣列的元素劃分成兩部分，使得左邊的數比基數小，右邊的數比基數大。劃分有許多不同的實現方法，這裡主要使用單向掃瞄的方法，後面再稍微介紹雙向掃瞄的方法。

選擇最右邊的數字作為基數。使用乙個變數j記錄當前左邊數字（比基數小的數）的最右的下標值。然後使用變數i從左到右遍歷陣列，如果a[i]小於等於基數，說明a[i]屬於左邊的數，就把j自增，然後交換a[j]和當前的a[i]。因為自增前的j是左邊數字最右的下標，自增後的a[j]肯定不屬於左邊了，把其跟a[i]交換後，新的a[j]是屬於左邊的，而且此時j也重新變為左邊數字最右的下標了。

掃瞄結束後，把j自增（因為a[j]將會被交換到最右邊，因此要選屬於右邊的數字）後與最右邊的基數交換，此時的j即為劃分的結果。

實際應用中有乙個優化，因為快速排序在陣列本來有序的情況下複雜度會退化為o(n^2)。為了避免這點，在選取基數的時候可以隨機地進行選擇。具體做法是把最右邊的數字跟乙個隨機的數字交換位置。另外還有一種三數取中的方法，即選擇首尾跟中間某個數共三個數的中值作為基數。

具體**實現為：

int partition(int a, int l, int r) //對陣列a下標從l到r的元素進行劃分

劃分完成之後快速排序就很簡單了，**如下：

void quicksort(int a, int l, int r) //對陣列a下標從l到r的元素排序

這裡也用乙個簡單的例子進行測試：

void test2()
, n = 5;
cout << "原始：";
for (int i = 0; i < n; i++) cout << x[i] << " ";
cout << endl;			//原始：4 3 1 2 5
quicksort(x, 0, n-1);
cout << "公升序：";
for (int i = 0; i < n; i++) cout << x[i] << " ";
cout << endl;			//公升序：1 2 3 4 5
}

剛剛提到，劃分陣列時有另一種雙向掃瞄的方法。

還是以最右邊的元素作為基數。目的是左邊的元素都是小於或等於基數，右邊的元素都是大於基數的。先不管最右的數字，i從左往右掃瞄知道遇到乙個不屬於左邊的數字，j從右往左掃瞄直到遇到乙個不屬於右邊的數字，然後就可以交換i和j上的數字，那麼這兩個數字就放在了它們應該在的位置。然後i++，j–再繼續掃瞄，直到i和j相遇。最後要把最右邊的基數和i上面的數字交換，i就是劃分的結果。

**如下：

int partition2(int a, int l, int r)
swap(a[i], a[r]); 
return i;
}

快速排序有許多應用，其中乙個是求乙個陣列中的第n個數。

求第n個數時可以把陣列進行排序，然後直接取出第n個數。但這樣做了許多不必要的排序，實際上可以進行部分排序，每次進行劃分之後判斷要求的第n個數時在左邊還是右邊，然後直接排序相應的部分即可。在部分排序左邊或者右邊的時候，需要把n換成在當前排序部分中的新的n值。

注意這樣求得第n個數時陣列元素的順序已經被改變了。

int nthelement(int a, int l, int r, int id) //求陣列a下標l到r中的第id個數

這裡使用了上面的partition函式進行劃分。乙個簡單的測試例子為：

void test3()
, n = 5, id = 3;
cout << "原始：";
for (int i = 0; i < n; i++) cout << x[i] << " ";
cout << endl;			//原始：4 3 1 2 5
cout << "第" << id << "個數：" << nthelement(x, 0, n-1, id);
cout << endl;			//第3個數：3
}

使用這種方法可以直接求乙個無序陣列的中位數，對於帶權中位數可以通過在計算id和cur的關係時先統計l到m的權值之和再分析得到。

另外，對於這個簡單的應用stl也提供了相應的函式進行求解，實際中也不用自己實現。stl中的函式是algorithm標頭檔案中的nth_element函式，使用nth_element(a, a + mid, a + n)會對陣列a進行部分排序，結果保證第mid+1個數是正確的。

具體的使用方法如下：

void test4()
, n = 5, id = 3;
cout << "原始：";
for (int i = 0; i < n; i++) cout << x[i] << " ";
cout << endl;			//原始：4 3 1 2 5
nth_element(x, x + id - 1, x + n);
cout << "第" << id << "個數：" << x[id- 1];
cout << endl;			//第3個數：3
}

快速排序也可以不通過遞迴進行實現。主要思想是用棧來儲存子陣列的左右邊界，以下實現使用陣列來模擬棧。

void quicksortiterative (int arr, int l, int h)
// if there are elements on right side of pivot, then push right
// side to stack
if ( p+1 < h )
}}

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