多重網格方法(multigridmethod)
多重網格方法是解微分方程的方法。這個方法的好處是在利用迭代法收斂結果的時候速度特別快。並且，不管是否對稱，是否線性都無所謂。它的值要思想是在粗糙結果和精細結果之間插值。
前面介紹了gauss–seidel方法和jacobi 方法，現在再用這兩個方法來舉例。儘管gauss–seidel (gs)方法converge更快一些，但其實對於維度很高的系統都很慢。multigrid（mg）方法的思路是先把問題粗糙化，把原網格投影到乙個比較簡單的新網格上計算，等到快速收斂以後再經由interpolation（插值）返回原來的系統。
對於某個工程數學問題（如泊松方程），可以歸納為線形方程ax = b, a為n x n矩陣。那麼，最終目的是得到所謂的x = a^(-1)b。定義e(t) = x – x(t)，當e(t)為小於某個值的時候，可以認為xconverge到了合適的值。但實際上我們比較的是相鄰的值。
把a非奇異分解a = b – c，
bx – cx = b
x = b(-1) cx + b^(-1) b
並分開求解x
bx(t+1) - cx(t)= b
x(t+1) = b^(-1) cx(t) + b^(-1) b -（1）
把形如b^(-1) c的矩陣稱作迭代矩陣，用m表示。
容易發現,
x(t+1) – x = mx(t) + b^(-1) b – x = mx(t) +mx = m (x(t) – x) -（2）
以上式子與（1）式等價。
另外可令n = b^(-1):
x(t+1) = mx(t) + nb - (3)
不同的迭代方法其實就是a的不同分解法，反映到（3）式就是取不同的m和n值。
比如，在gs方法中b = d – l, c = u, 則(3)式為：
x(t+1) = (d - l)^(-1)ux(t) + (d - l)^(-1)b - (4)
分析發現，當n的數值比較大時，以上收斂是極其緩慢的。假設p(i) 是序號為i的原系統有限元基函式（i = 1, 2, … , n），q(i)是粗糙化的網格(i = 1,2, … , m m一種粗糙化方法是構造矩陣h，使p = h * q, h為m x n矩陣。令a』 = hah^t, x』 = hx, b』 = hb. 則 a』 x』 = b』 是乙個m維粗化的網格系統。
更加具體來說，對於乙個k維的問題，如果k小於乙個指定的維數，那麼直接用jacob等方法解救可以了。否則，粗糙化為更低的維度比如變為原來的二分之一，最後再把維數變回來。把mesh粗糙化的過程叫做downv-cycle (從k維到k/2維), 反之叫up v-cycle.（從k維到2k維）。
institut fäur mathematik undwissenschaftliches rechnen, introduction to multigrid methods, al¯o borzµ
william l. briggs , a multigrid tutorial,
多重網格方法 Multigridmethod
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