列印螺旋矩陣

螺旋矩陣是乙個nxn的方陣，其中元素為自然數，但像螺旋方向一樣遞增。舉例如下：

若n = 3，螺旋矩陣為：

1   2   3

8   9   4
7   6   5

1   2   3   4

12  13  14   5
11  16  15   6
10   9   8   7

若n = 5，螺旋矩陣是：

1   2   3   4   5

16  17  18  19   6
15  24  25  20   7
14  23  22  21   8
13  12  11  10   9

但是還不夠好。

按照矩陣規律填充元素時，我們是隨機訪問矩陣元素的（如果可以按順序訪問，根本不用先存起來再列印）。隨機訪問記憶體，效率當然不高。所以即使時間複雜度已為最優，但那只是理論上的最優，在實踐中表現並不一定就好。

假如能根據行列號直接計算出對應的矩陣元素就好了。當n給定後，這個矩陣就已經唯一確定了，那麼每乙個元素也是確定的。也就是說，每乙個位置放什麼元素僅僅取決於n。因此我們可以找到乙個函式element(i, j)，將行號i和列號j對映成對應這個行列號的元素。當然這個函式肯定不是乙個簡單的函式，不是一眼就可以看出來的，但也並不是不可能。

現在我們就來考查一下這個矩陣有什麼特點。注意觀察一下螺旋矩陣的最外層，它的左上角的元素是最小的，然後沿順時針方向遞增，就如同乙個環一樣（比如n為4時，1, 2, ..., 12就是最外面一層環）。再注意一下裡面一層，也是一樣，順時針方向遞增的乙個環（比如n為4時，13, 14, 15, 16就是裡面一層環）。以此類推，環裡面還有一層環（n為4時有2層環，n為5時有3層環，最裡面一層只有乙個元素25），實際上是乙個圓環套圓環結構。每一圓環最關鍵的元素就是左上角的那乙個元素。只要知道了這個元素，再加上這個正方形環的邊長就可以計算出剩下的元素。設左上角元素為a，邊長為l（ell），也就是邊上有幾個元素，並假設左上角的行號和列號均為0，其它元素的行號和列號都以它作參考，計算方法如下所示：

1. 若i == 0，element(i, j) = a + j;

2. 否則若j == 0，element(i, j) = a + 4(l-4) - (i-1) - 1;

3. 否則若i == l-1，element(i, j) = a + 4(l-4) - (l-2) - 1 - j;

4. 否則element(i, j) = a + l - 1 + i;

剩下的問題就是如何確定左上角的元素，以及當前環在第幾層（最外層是第0層，往裡面依次遞增）。這些都好辦。**如下：

其實這種方法不僅可以用於這種矩陣，對於其它有各種規律的矩陣也可以用這種方法，關鍵是找出那個函式的定義。推而廣之，許多問題實際上在數學上都可以找到這種簡單答案（所謂簡單答案，我指的是類似於級數求和的閉式（closed form），不用遞迴或迴圈計算出答案，而是在有限的步驟之內算出答案。所謂有限是指與問題規模無關。像上面的問題，計算步驟就與矩陣元素個數無關），我們應當盡量地去找這種簡單的答案，而不是用計算機模擬求解。比如約瑟夫（josephus）環問題，有乙個漂亮的簡單答案，在常量時間內算出，根本不需用鍊錶或陣列模擬。當然，也有許多問題沒有這麼漂亮的解法，只好用計算機模擬求解，不過最好還是盡量想辦法找到這種簡單的解法。

列印螺旋矩陣

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列印螺旋矩陣（遞迴解法）

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