（1）有序和無序的開啟列表：簡單的方法
最簡單的方法就是順序儲存每個節點，然後每次需要提取最低耗費元素的時候都遍歷整個列表。這提供可快速的插入速度，但是移除速度可能是最慢的，因為你需要檢查每個元素才能夠確定哪個才是f值最低的。
通常你可以保持你列表處於有序狀態來提公升效率。這花費了稍微多一點的預處理時間，因為你每次插入新元素都必須把他們放在恰當的位置。不過移除元素倒是很快。你只要移除第乙個元素就可以了，它一定是f值最低的。 有很多方法可以保持你的資料有序（選擇排序，氣泡排序，快速排序，等等）並且你可以用你最熟悉的搜尋引擎找到這方面的文章。不過我們至少可以先提幾種想法。最簡單的方法可能是，當你需要新增新元素的時候，從列表開始的地方，依次比較每個元素的f值和要插入的f值的大小。一旦找到乙個相等或者更高的f值，你就可以把新元素插入到列表中那個元素的前面。取決於你使用的計算機於亞，使用class或者struct實現的鍊錶可能是不錯的方法。 這種方法可以通過保持列表中所有元素的平均值來得到改進，使用這個平均值來決定是從頭（如上所說）還是從尾開始處理。總的說來，比平均f值低的新元素將被從頭開始處理，而比平均f值高的則從末尾開始。這種方法可以節省一半的時間。
複雜一些，但是更快的方法是把這一想法提高到新的層次使用快速排序，它基本上是從比較新元素和列表中間元素的f值開始。如果新元素的f值低，你接著把它和1/4處元素進行比較，如果還是更低你就比較它和1/8處的元素，如此這般，不斷的折半你的列表並且比較，直到找到合適的位置。這個描述很簡單，你可能會想到網上尋找快速排序的更多資料。這比至此描述的任何方法都快。 二叉堆
（2）基於堆儲存結構
二叉堆和剛才說的快速排序很像，經常被那些苛求a*速度的人使用。根據我的經驗，二叉堆平均提高尋路速度2-3倍，對於包含大量節點的地圖(也就是說100×100節點或者更多）效果更明顯。友情提醒，然而二叉堆很難處理，除非你使用含有大量節點的地圖，速度至關重要，否則不值得為它頭痛。 文章其他的部分深入說明了二叉堆和它在a*演算法中的用途。如果你對我的文章存有疑惑，在文章末尾進一步閱讀的小節中提供了更多的觀點。
仍然有興趣？好，我們繼續。。。
在有序列表中，每個元素都按照由低到高或由高到低的順序儲存在恰當的位置。這很有用，但是還不夠。事實上，我們並不關心數字127是否比128在更低的位置上。我們只是想讓f值最低的元素能放在列表頂端以便容易訪問。列表的其他部分即使是混亂的也不必在意。列表的其他部分只有在我們需要另乙個f值最低的元素的時候，才有必要保持有序。
基本上，我們真正需要的是乙個「堆」，確切的說，是個二叉堆。二叉堆是一組元素，其中最大或者最小（取決於需要）的元素在堆頂端。既然我們要尋找f值最小的元素，我們就把它放在堆頂端。這個元素有兩個子節點，每個的f值等於，或者略高於這個元素。每個子節點又有兩個子節點，他們又有和他們相等或略高的子節點。。。依次類推。這裡是乙個堆可能的樣子：
注意，f值最低的元素(10)在最頂端，第二低的元素(20)是它的乙個子節點。可是，其後就沒有任何疑問了。在這個特定的二叉堆裡，第三低的元素是24，它離堆頂有兩步的距離，它比30小，但是30卻在左側離堆頂一步之遙的地方。簡單的堆放，其他的元素在堆的哪個位置並不重要，每個單獨的元素只需要和它的父節點相等或者更高，而和它的兩個子節點相比，更低或者相等，這就可以了。這些條件在這裡都完全符合，所以這是個有效的二叉堆。
很好，你可能會想，這的確有趣，但是如何把它付諸實施呢？嗯，關於二叉堆的乙個有趣的事實是，你可以簡單的把它儲存在乙個一維陣列中。
在這個陣列中，堆頂端的元素應該是陣列的第乙個元素(是下標1而不是0)。兩個子節點會在2和3的位置。這兩個節點的4個子節點應該在4－7的位置。
總的來說，任何元素的兩個子節點可以通過把當前元素的位置乘以2（得到第乙個子節點）和乘2加1（得到第二個子節點）來得到。就這樣，例如堆中第三個元素（數值是20）的兩個子節點，可以在位置2*3 = 6和2*3 +1 = 7這兩個位置找到。那兩個位置上的數字非別是30和24，當你檢視堆的時候就能理解。
你其實不必要知道這些，除了表明堆中沒有斷層之外知道這些沒有任何價值。7個元素，就完整的填滿了乙個三層堆的每一層。然而這並不是必要的。為了讓我們的堆有效，我們只需要填充最底層之上的每一行。最底層自身可以是任意數值的元素，同時，新的元素按照從左到右的順序新增。這篇文章描述的方法就是這樣做的，所以你不必多慮。
向堆中新增元素
當我們實際在尋路演算法中使用二叉堆的時候，還需要考慮更多，但是現在我們只是學習一下如何使用二叉堆。我跳過這部分以便更容易理解基本的東西。我會在文章後面的部分給出處理這一切的完整公式，但了解這些細節仍然十分重要。
大致的，為了往堆裡新增元素，我們把它放在陣列的末尾。然後和它在 當前位置/2 處的父節點比較，分數部分被圓整。如果新元素的f值更低，我們就交換這兩個元素。然後我們比較這個元素和它的新父節點，在 （當前位置）/2 ，小數部分圓整，的地方。如果它的f值更低，我們再次交換。我們重複這個過程直到這個元素不再比它的父節點低，或者這個元素已經到達頂端，處於陣列的位置1。
我們來看如何把乙個f值為17的元素新增到已經存在的堆中。我們的堆裡現在有7個元素，新元素將被新增到第8個位置。這就是堆看起來的樣子，新元素被加了下劃線。 10 30 20 34 38 30 24 17
接下來我們比較它和它的父節點，在 8/2 也就是 4的位置上。位置4當前元素的f值是34。既然17比34低，我們交換兩元素的位置。現在我們的堆看起來是這樣的:
10 30 20 17 38 30 24 34
然後我們把它和新的父節點比較。因為我們在位置4，我們就把它和 4/2 = 2 這個位置上的元素比較。那個元素的f值是30。因為17比30低，我們再次交換，現在堆看起來是這樣的： 10 17 20 30 38 30 24 34
接著我們比較它和新的父節點。現在我們在第二個位置，我們把它和 2/2 = 1，也就是堆頂端的比較。這次，17不比10更低，我們停止，堆保持成現在的樣子。
從堆中刪除元素
從堆中刪除元素是個類似的過程，但是差不多是反過來的。首先，我們刪除位置1的元素，現在它空了。然後，我們取堆的最後乙個元素，移動到位置1。在堆中，這是結束的條件。以前的末元素被加了下劃線。
34 17 20 30 38 30 24
然後我們比較它和兩個子節點，它們分別在位置(當前位置*2)和(當前位置* 2 + 1)。如果它比兩個子節點的f值都低，就保持原位。反之，就把它和較低的子節點交換。那麼，在這裡，該元素的兩個子節點的位置在 1 * 2 = 2和 1*2 + 1 = 3。顯然，34不比任何乙個子節點低，所以我們把它和較低的子節點，也就是17，交換。結果看起來是這樣：
17 34 20 30 38 30 24
接著我們把它和新的子節點比較，它們在 2*2 = 4，和2*2 + 1 = 5的位置上。它不比任何乙個子節點低，所以我們把它和較低的乙個子節點交換（位置4上的30）。現在是這樣：
17 30 20 34 38 30 24
最後一次，我們比較它和新的子節點。照例，子節點在位置 4*2 = 8和4*2+1 = 9的位置上。但是那些位置上並沒有元素，因為列表沒那麼長。我們已經到達了堆的底端，所以我們停下來。
二叉堆為什麼這麼快？
現在你知道了堆基本的插入和刪除方法，你應該明白為什麼它比其他方法，比如說插入排序更快。假設你有個有1000個節點的開啟列表，在一格有很多節點的相當大的地圖上，這不是不可能（記住，即使是100×100的地圖，上面也有10,000個節點）。如果你使用插入排序，從起點開始，到找到新元素恰當的位置，在把新元素插入之前，平均需要做500次比較。
使用二叉堆，你從底端開始，可能只要1－3次比較就能把新元素插入到正確的位置。你還需要9次比較用來從開啟列表中移除乙個元素，同時保持堆仍然有序。在a*中，你通常每次只需要移除乙個元素(f值最低的元素)，在任意位置新增0到5個新節點(就像主文章裡描述的2d尋路)。這總共花費的時間大約是同樣數量節點進行插入排序的1%。差別隨你地圖的增大(也就是節點更多)呈幾何增長。地圖越小，就越沒優勢，這也是為什麼你的地圖和節點越少，二叉堆的價值就越低的原因。
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