資料結構二分查詢（python實現）

最近開始學習王爭老師的《資料結構與演算法之美》，通過總結再加上自己的思考的形式記錄這門課程，文章主要作為學習歷程的記錄。

課前問題：假設有1000萬個整數資料，每個資料佔8個位元組，如何設計資料結構與演算法，快速判斷某個整數是否出現在這1000萬資料中，同時又希望這個功能記憶體不要超過100m？

這個問題就引入了二分查詢，舉個例子來理解二分查詢：假設乙個陣列為0-99，要查詢元素23在陣列中的位置

次數猜測範圍

中間數對比大小

10-99

4949>23

20-48

2424>23

30-23

1111<23

412-23

1717<23

518-23

2020<23

621-23

2222<23723

√利用二分思想，每次都與區間中間資料比對大小，縮小查詢區間的範圍，二分查詢針對的是乙個有序的資料集合，查詢思想有點類似分治思想，每次都通過跟區間的中間元素對比，將待查詢的區間縮小為原來的一半，直到找到要查詢的元素，或者區間被縮小為0。

二分查詢查詢效率非常高。假設資料大小為n，每次查詢後資料都會縮小為原來的一半，也就是會除以2，最壞的情況下，直到查詢區間被縮小為空才停止。

被查詢區間的大小變化：

n

nn , n/2

n/2n/

2 , n/4

n/4n/

4 , n/8

n/8n/

8 , … , n/2

kn/2^k

n/2k

當n /2

kn/2^k

n/2k

=1時，k的值就是縮小的次數。

時間複雜度為o(k) = o(log

2n

log_2

log2n

)，故時間複雜度為o(logn)

最簡單的二分查詢：

最簡單的二分查詢就是有序陣列中不存在重複元素，**：

def binary_search(l,n):
low = 0
high = len(l)-1
while(low<=high):
mid = low+((high-low)>>1) 
if n == l[mid]:
return mid
elif nl[mid]:
low = mid+1

下面有幾點需要注意:

1.迴圈退出條件:

注意是low<=high,而不是low2.mid的取值：

mid = (low+high)/2的寫法是有問題的，low+high可能會發生溢位，改進的方法是將mid的計算方式寫出low+(high-low)/2.需要進一步優化的話，可將除以2的操作轉化為位運算，即low+((high-low)>>1)，速度要快得多。

3.low和high的更新

low = mid+1, high = mid -1，如果直接寫成low = mid或者high = mid就會發生死迴圈。

實際上，二分查詢除了可以用迴圈，還可以採用遞迴實現。

def binary_search(l,n,low,high):   
while(high>=low):
mid = ((high-low)>>1)+low
if l[mid]==n:
return mid
elif l[mid]>n:
return binary_search(l,n,low,mid-1)
elif l[mid]二分查詢應用場景的侷限性
一、二分查詢依賴的是順序表結構，即陣列
 二分查詢不適合用於鍊錶，主要原因在於二分查詢演算法需要按照下標隨機訪問元素。陣列按照下標隨機訪問資料的時間複雜度為o(1)，而鍊錶是o(n)。因此資料使用鍊錶儲存的話，二分查詢時間複雜度就會很高。
二、二分查詢針對的是有序陣列
 二分查詢要求資料必須是有序的。排序的時間複雜度最低是o(nlogn)。因此，針對的是一組靜態的資料，沒有頻繁地插入、刪除，我們可以進行一次排序，多次二次查詢，這樣排序的成本可以被均攤，二次查詢的邊際成本就會比較低。
三、資料量太小不適合採用二分查詢
 資料量很小，直接進行順序遍歷。只有資料量大時，二分查詢的優勢才比較明顯。但若是資料之間的比較操作非常耗時，不管資料量大小，都更推薦使用二分查詢。
四、資料量太大也不適合二分查詢
 二分查詢的底層需要依賴陣列，而陣列為了支援隨機訪問的特性，要求記憶體空間連續，對記憶體的要求比較苛刻。因此太大的資料用陣列儲存就比較吃力，不能用二分查詢。
補充乙個思考題，程式設計實現「求乙個數的平方根，保留6位有效小數」
def sqrt(t):
low = 0
high = t
mid = t/2
while(abs(t-mid**2)>0.00001): 
if mid**2>t:
high = mid
elif mid**2一、查詢第乙個值等於給定值的元素
這個問題的難度在於當查詢到對應的值時，不一定是第乙個值，需要進行判斷。若mid=0，則元素已經是第乙個值了，即我們查詢的。若mid不等於0，但s[mid]的前乙個元素s[mid-1]不等於t,那麼s[mid]就是我們要找的第乙個等於給定值的元素。如果發生s[mid-1]也等於t，則令high = mid - 1，因為要找的元素肯定在[low,mid-1]中。
def bin_find(s,t): #查詢第乙個等於給定值的元素
low = 0
high = len(l)-1
while(high>=low):
mid = low + ((high-low)>>1)
if s[mid]t:
high = mid-1
elif s[mid]==t:
if mid==0 or s[mid-1]!=t:
return mid
else:
high = mid-1

二、查詢最後乙個等於給定值的元素

與變體一類似

def bin_find(s,t): #查詢最後乙個等於給定值的元素
low = 0
high = len(l)-1
while(high>=low):
mid = low + ((high-low)>>1)
if s[mid]t:
high = mid-1
elif s[mid]==t:
if mid==0 or s[mid+1]!=t:
return mid
else:
low = mid+1

三、查詢第乙個大於等於給定值的元素

難度在於s[mid]>=t。我們要首先看一下這個s[mid]是不是我們要找的第乙個大於等於給定值的元素。如果s[mid]前面無元素或前乙個元素小於要查詢的t，那s[mid]即為要找的元素。如果s[mid-1]也大於等於要找的t，說明要查詢的元素在[low,mid-1]之間，所以要將high更新為mid-1.

def bin_find(s,t): #查詢第乙個大於等於給定值的元素
low = 0
high = len(l)-1
while(high>=low):
mid = low + ((high-low)>>1)
if s[mid]=t:
if mid==0 or s[mid-1]四、查詢最後乙個小於等於給定值的元素
與變體三類似
def bin_find(s,t): #查詢最後乙個小於等於給定值的元素
low = 0
high = len(l)-1
while(high>=low):
mid = low + ((high-low)>>1)
if s[mid]<=t:
if mid == 0 or s[mid+1]>t:
return mid
else:
low = mid+1
elif s[mid]>t:
high = mid-1

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