問題：(fh
)& \\ & \end\right.
(fh)
x∗為最優解，則存在：
∇ f(
x∗)+
∂h′(
x∗)∂
xv∗=
0\nabla f\left(x^\right)+\frac\left(x^\right)} v^=0
∇f(x∗)
+∂x∂
h′(x
∗)v
∗=0h(x
∗)=0
h\left(x^\right)=0
h(x∗)=
0注：1.f在該點上的梯度=h在該點上梯度的線性組合。幾何意義：f在該點上的梯度與h在該點上梯度的線性組合共線。
2.拉格朗日乘子的意義：拉格朗日乘子表示f對各約束分量擾動的敏感程度。
問題：(fg
h)
& \\ & \\ {} & \end\right.
(fgh)⎩
⎨⎧mins,
tf(
x)g(
x)≤0
h(x)
=0kkt條件（必要條件）：如果x∗x^
x∗為最優解，則存在：
∇ f(
x∗)+
∂g(x
∗)∂x
u+∂h
(x∗)
∂xv=
0\nabla f\left(x^\right)+\frac\right)} u+\frac\right)} v=0
∇f(x∗)
+∂x∂
g(x∗
)u+
∂x∂h
(x∗)
v=0
u ⩾0
,u∈r
m,v∈
rl
u \geqslant 0, u \in \mathbf^, \quad v \in \mathbf^
u⩾0,u∈
rm,v
∈rlutg
(x∗)
=0
u^} g\left(x^\right)=0
utg(x∗
)=0對於凸優化來說，kkt條件為充分必要條件，而對於非凸優化來說，kkt條件為必要條件。
注：1.幾何意義：f在該最優點上的負梯度為g,h在該點上梯度的線性組合。
2. 在該最優點上，不等式約束函式g(x)的梯度方向必須與f的梯度方向在g(x)=0的不同側（否則該點就不是最優點），即g(x)的梯度方向與f的負梯度方向在g(x)=0的同一側，因此式中有u>=0。對於等式約束來說g的梯度方向可以在g(x)=0的任意一側，只要保證f的梯度和g的梯度的線性組合共線就行，因此對v的正負性沒有要求。
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問題引入 max f x,y s.t.g x,y 0 幾何解釋 a.g x y 0為上圖中z 0平面中的圓，圓的邊表示g x,y 0，圓的內部表示g x,y 0。b.z f x,y 為上圖中的曲面。上述極值問題就是要求當點 x,y 落在圓內時 包括圓的邊 f x,y 的最大值。1 如果極值點在圓內，...
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kkt條件詳解 主要參考這篇文章和這個知乎回答。kkt最優化條件是karush 1939 以及kuhn和tucker 1951 先後獨立發表出來的。這組最優化條件在kuhn和tucker發表之後才逐漸受到重視，因此許多情況下只記載成庫恩塔克條件 kuhn tucker conditions 它是非線...
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