對數公式的換算，對於演算法複雜度的推導非常重要。但是我總忘，這次特地總結一下常用的對數公式，以備後用。
名稱公式
和差logα
mn
=logα
m+lo
gα
n\log_\alpha mn=\log_\alpha m+log_\alpha n
logαm
n=logαm
+log
αn換底公式
log α
x=
logβx
logβα
\log_\alpha x=\frac
logαx
=logβ
αlogβ
x次方公式
log a
nxm=
mn
logax
\log_x^m=\frac\log_ax
logan
xm=n
mlogax
互換mloga
n=
nloga
mm^=n^
mloga
n=nloga
m倒數log a
b=ln
blna
=1
logba
\log_ab=\frac=\frac
logab
=lnaln
b=logb
a1鏈式
log γ
βlogβ
α=ln
βlnγ
lnαln
β=ln
αln
γ=
logγα
\log_\gamma \beta\log_\beta\alpha=\frac\frac=\frac=\log_\gamma\alpha
logγβ
logβα
=lnγln
βlnβ
lnα=
lnγlnα
=logγα
還原αlogα
x=x=
logαα
x\alpha^=x=\log_\alpha \alpha^x
αlogα
x=x=
logαα
x注：公式總結自維基百科：
基底是e
ee還是2的問題
在一些計算機相關的領域，書寫log
\log
log函式時經常會省略基底（base），例如時間複雜度o
(logn
)o(\log n)
o(logn
)，或者在機器學習領域用來做多分類的交叉熵損失函式：lce
(x,y
)=−∑
c=1m
yo,c
log(p
o,c)
l_(x,y)=-\sum^m_y_\log(p_)
lce(x
,y)=
−∑c=
1my
o,c
log(po
,c)
，這個時候我們會想知道這些log
\log
log函式的基底到底是數學常數e
ee還是2？
一般情況下，演算法複雜度和資訊理論領域（例如交叉熵）的log
\log
log計算都是以2為底，但也有少部分以e
ee為底的情況。其實我們對log
\log
log的基底無需過分擔心，因為以e
ee為底得出的結果與以2為底得出的結果比值是個常數，使用換底公式即可求得：
log e
nlog2
n=
logkn
logke
/logk
nlogk
2=
logk2
logke
=loge
2.\frac=\frac/\frac=\frac=\log_e2.
log2n
logen
=logke
logkn
/logk2
logkn
=logke
logk2
=loge2
.因此，我們不應該過分關注log
\log
log函式的基底是e
ee還是2的問題，它們計算結果的比值總是乙個常數，採用任何乙個基底都不會對要解決的問題本身產生影響。
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