樹形揹包總結

2、有物品大小：

3、物品大小為1，有k的限制。

二、dfs序上dp：

例題1例題2

例題3總結下：

樹形揹包，就是說，在樹上選乙個包含根的連通塊，或揹包存在依賴關係（選父才能選子），或者需要知道每個點的子樹中選了多少……

通常，我們有兩種方法：

我們設\(dp(i,j)\)表示在i的子節點中選j個的狀態。

在轉移時，先dfs子節點，然後依次把子節點合併，每次合併2個。

即列舉\(a,b\)，用\(dp(i,a)\)和\(dp(son,b)\)組合為\(f(a+b)\)，每次合併後，把f賦給dp。

下面分析時間複雜度：

void tree_dp(int p)
}

時間複雜度為\(o(n^2)\)。

考慮那個二重迴圈，可以看做分別列舉兩棵子樹的每個點。可以發現，點對\((u,v)\)，只會在\(tree_dp(lca(u,v))\)處被考慮到，所以複雜度是\(o(n^2)\)。

這個複雜度我也不清楚，可以卡到\(o(n^3)\)，但是，在資料隨機時是能跑過8000，1s的。

void dfs(int u, int fu) 
for (int i = fr[u]; i != -1; i = ne[i]) 
}si += rt;
sz[u] = si + 1;
}

這個演算法，最初覺得是\(o(nk^2)\)的，實際上是\(o(nk)\)的。

根據正常樹形揹包的複雜度\(o(n^2)\)，小於等於k的最多產生\(n/k*k^2\)的複雜度。

大於k與大於k的合併一次，被合併的就增加k，最多n/k次，最多產生\(n/k*k^2\)的複雜度。

大於k的與小於等於k的合併時，每個小於等於k的最多被合併一次，所以是\(n*s_1+n*s_2+...+n*s_m\)，也是\(nk\)。

還有一種理解：

把樹按照dfs序變為序列。

然後，在子樹中列舉取x個，可以理解為取dfs序的前（後）x個。

而合併時，認為一棵子樹取後x個，另一棵取前y個。\((x+y\leq k)\)。這可以合併為長x+y的區間。

這其實就是長度不大於k的子串，最多有nk個。

但是，因為有取0個的情況，所以實際做題時，大約有2的常數。但那個常數就忽略了可以。

按照dfs序考慮：

我們設\(dp(i,j)\)表示考慮到第i個，剩餘容量為j的狀態：

有兩種轉移：

1、不選i，那麼i的子樹都不能選，轉移到\(dp(i+size_i,j)\)。

2、選i，那麼按照dfs序考慮下乙個，轉移到\(dp(i+1,j-w)+v\)。

正確性顯然。

（不是我的）

void dfs(int u)
cost[++tot]=temp[u];
f[tot]=tmp;
}int main()
dfs(0);
for(int i=1;i<=m;i++)
}printf("%d\n",dp[m][n]);
}

這個比較顯然，n個點，m的容量限制（沒有則m=n），狀態有\(nm\)個，轉移代價為\(o(1)\)，複雜度為\(o(nm)\)。

而且，這種方法更好些，且常數更小。

題目描述

金明今天很開心，家裡購置的新房就要領鑰匙了，新房裡有一間金明自己與用的很寬敞的房間。更讓他高興的是，媽媽昨天對他說：「你的房間需要購買哪些物品，怎麼布置，你說了算，只要丌超過 n 元錢就行」。今天一早，金明就開始做預算了，他把想買的物品分為兩類：主件不附件，附件是從屬於某個件的，下表就是一些主件不附件的例子：

主件附件

電腦印表機，掃瞄器

書櫃圖書

書桌檯燈，文具

工作椅無

如果要買歸類為附件的物品，必須先買該附件所屬的件。每個主件可以有很多個附件。附件可能有從屬於自己的附件。金明想買的東西很多，肯定會超過媽媽限定的 n 元。於是，他把每件物品規定了乙個重要度，分為 5 等：用整數 1−5 表示，第 5 等最重要。他還從網際網路上查到了每件物品的**（都是在10 元以內）。他希望在不超過 n 元（可以等於 n 元）的前提下，使每件物品的**不重要度的乘積的總和最大。設第 j 件物品的**為 v[j] ，重要度為 w[j] ，共選中了 k 件物品，編號依次為 j1,j2,…,jk，則所求的總和為： v[j1]×w[j1]+v[j2]×w[j2]+…+v[jk]×w[jk] 請你幫助金明設計乙個滿足要求的購物單。

輸入格式

第 1 行，為兩個正整數，用乙個空格隔開：

n，m （其中 n(<8000) 表示總錢數， m(< 8000) 為希望購買物品的個數。）從第 2 行到第 m+1 行，第 j 行給出了編號為 j−1的物品的基本資料，每行有 3 個非負整數:：v，p，q（其中 v 表示該物品的**（ v< 10），p表示該物品的重要度（ 1−5 ）， q 表示該物品是主件還是附件。如果 q=0，表示該物品為主件，如果 q>0 ，表示該物品為附件， q 是所屬件的編號（q< j-1））

輸出格式

乙個正整數，為丌超過總錢數的物品的**不重要度乘積的總和的最大值。

這個，是顯然的樹型揹包。

如果用方法1，則由於物品大小的影響，可以卡到\(o(nm^2)\)。

但是，方法二就是\(o(nm)\)的，很快，還好寫。

（差距很大）。

[jsoi2018]潛入行動

這題，由於我要知道父子關係的資訊（例如：父節點是否選擇等），所以方法二便不能使用。

[sdoi2017]蘋果樹

這題有些像例1，只不過物品有多個，轉成dfs序後，單調佇列優化即可，複雜度\(o(nk)\)。如果方法1至少要\(o(nk^2)\)。

方法一：

可以知道每個點的確切情況，可以與普通的樹型dp結合使用（因為畢竟是在樹上）。

但是，複雜度較高（因為合併揹包很慢）。

方法二：

複雜度較低（因為不需要合併揹包，相當於依次新增）。

但是，不能知道每個點的確切情況（因為是在序列上），有些題不能使用。

樹形揹包總結

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樹形依賴揹包

樹形揹包DP

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樹形依賴揹包

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