高度陣列與最長公共字首

摘要

本文是關於字尾陣列的乙個拓展，問題模型來自於最長公共字首（longest common prefix array）問題，我們為解決該模型，在字尾陣列的基礎上設計了乙個精巧的陣列——高度陣列，同時由於該陣列在處理各類字串相關問題時有著較好的用途，因此值得掌握。

本文將直接從高度陣列講起，假設讀者具有字尾陣列的基礎知識。首先本文會介紹高度陣列的定義以及用途，接著講解如何在o(n)時間內求出高度陣列，最後將介紹高度陣列的應用。

高度陣列（lcp array ，longest common prefix array）

所謂的字尾陣列，指的是由字尾陣列中相鄰兩個字尾的最長公共字首（lcp）的長度組成的陣列。記字尾陣列為sa，高度陣列為lcp，則有字尾s[ sa[i]… ] 與 s[s[i+1] … ] 的最長公共字首的長度為lcp[i] 。我們可以在o(n)時間內高效地求得高度陣列，有了高度陣列，字尾陣列將稱為乙個更加有力的工具。高度資料雖然計算簡單，但非常巧妙，使用了類似尺取法的技巧。記rank[i] 為位置 i 開始的字尾在字尾陣列中的順序，即有rank[ s[i] ] = i。

構造方法

我們從位置0的字尾開始，從前往後依次計算字尾s[i…]與字尾s[sa[rank[i]-1]…]（即字尾陣列中的前乙個字尾）的最長公共字首的長度。此時，假設我們已經求得了位置 i 對應的高度h

ih_i

hi，那麼我們可以證明位置 i+1 對應的高度應該不小於hi−

1h_i-1

hi−1。

為什麼呢？記k = sa[rank[i] - 1] ，已知字尾s[i…]和s[k…]的頭部h

ih_i

hi個字元是相等的，那麼字尾s[i+1…]和s[k+1…]分別是二者去除首字元的結果，所以它們頭部hi−

1h_i-1

hi−

1個字元是相等的。雖然在字尾陣列中，s[i+1…]前面乙個元素未必就是s[k+1…]，但即便如此，公共字首的長度也是只增不減的。因此，只要從hi−

1h_i-1

hi−

1開始檢查，計算最長公共字首的長度就好了。

**模板

因為高度最多增加n次，所以總的時間複雜度為o(n)。如果把這個問題當作位置i對應的區間是[i,i+h)的尺取法來看，就很容易理解。區間的左右端點始終不會向左移，並且是不超過n的整數。

#include#include#includeusing namespace std;
const int n = 1e6+10;
int n,k;
char str[n];
int sa[n],rank[n],tmp[n],lcp[n];
//比較(rank[i],rank[i+k])和(rank[j],rank[j+k]) 
bool compare_sa(int i,int j)
//計算字串s的字尾陣列 
void construct_sa(char* s,int sa) 
//利用對長度為k的排序結果對長度為2k的排序
for(k = 1;k <= n;k *= 2) 
}//最長公共字首模板,其中sa為字尾陣列,求得結果存放在lcp 
void construct_lcp(char *s,int sa,int lcp)
lcp[rank[i]-1] = h;	}}
int main()
return 0;
}

參考資料

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最長公共字首

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