考慮兩個命題，a和b，它們為真或假。
a表示命題：約翰是一名工科生；
b表示命題：約翰正在學習最優化課程。
可以通過「且」、「或」、「非」等關係進行命題組合，比如：「a且b」、「a或b」、「非a」、「非b」、「非(a且b)」等。
「a且b」表示：約翰是一名工科生，並且正在學習最優化課程；
「非a」表示：約翰不是一名工科生。
組合命題的真假取決於原始命題a和b的真假。這裡引入真值表，如下所示：
「a且b」和「a或b」的真值表 a
ba且b
a或b假假假
假假真假
真真假假
真真真真
真非「a」的真值表 a
非a假真真
假引入德摩根定律：「非(a且b)」等價於「(非a)或(非b)」。
為了便於命題證明，可利用條件命題來表示乙個組合命題。例如：
「a蘊含b」記為「a⇒b」。
條件命題「a⇒b」就是組合命題「(非a)或b」，經常讀作「a僅當b」、「如果a, 則b」、「a是b的充分條件」或「b是a的必要條件」。
可以將兩個條件命題組合成等價命題的形式「a⇔b」，即「a⇒b且b⇒a」。命題「a⇔b」讀作「a成立，當且僅當b成立」，或「a等價於b」，或「a對於b是充分必要的」。
條件命題和等價命題的真值表，如下所示：
蘊含和等價的真值表 a
ba⇒b
a⇐ba⇔b假假
真真真假
真真假假
真假假真
假真真真
真真利用真值表可以很容易地驗證，命題「a⇒b」等價於命題「非b⇒非a」，後者稱為前者的逆反命題。德摩根定律的逆反命題為命題「非(a或b)」等價於「非a且非b」。
我們所處理的大部分命題都具有「a⇒b」的形式。有3種證明命題「a⇒b」的方法，如下所示：
直接法；
對位證明法；
反證法或歸納法。
在直接法中，我們從a開始，一步步進行推演，得到相應的中間結果，最後以b結束。
對位證明法是另外一種非常有用的證明方法，該方法基於「a⇒b」與「(非b)⇒(非a)」的等價性進行證明。從非b開始，推斷出多個中間結果，最後以非a作為結論。
反證法基於「a⇒b」與「非(a且(非b))」的等價性進行證明。從「a且(非b)」開始，推導出與假設前提相矛盾的結果。
有時候也採用歸納法來進行命題證明。在該方法中，假定序列中各項的屬性滿足如下給定條件：
第1項具有該屬性；
如果第n項具有該屬性，那麼第n+1項也具有該屬性。
如果這兩個條件都成立，歸納法可證明序列中的任意項均具有該屬性。
直觀上，該推理方法是比較容易理解的。如果第1項具有某個給定屬性，那麼第2個條件意味著第2項也具有該屬性。之後，第2個條件又意味著第3項也具有該屬性，以此類推。歸納法是直觀推理的一種形式化描述。
如果x是乙個集合，那麼x∈x意味著x是x的乙個元素。
如果x不是集合x的乙個元素，記為x∉x。
集合採用大括號「{}」進行表示。比如：表示包含x1，x2，x3等元素的集合、表示「所有x的集合：使得x是實數，且x大於5」，冒號的含義是「使得」，這一集合的另外一種表示方式。
如果x和y為集合，那麼x⊂y表示x的元素也是y的元素。此時，稱x是y的子集；
x\y（x減y）表示乙個集合，由在x中但不在y中的所有元素構成，x\y是x的子集。
記號f:x→y表示「f是乙個從集合x到集合y的函式」。
符號「:=」表示乙個算數賦值操作，x:=y表示「將y賦予x」。
符號「≜」表示「定義為相等」。
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