本文介紹了遞迴的原理及其斐波那契數列的四種實現方式。所有原始碼均已上傳至github：鏈結
比較經典的例子就是最知名的斐波那契數列了。本文也以斐波那契數列為例，先簡單介紹一下，斐波那契數列（fibonacci sequence），又稱**分割數列（這個名字高大上）。
指的是這樣乙個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……
在數學上，斐波納契數列以如下被以遞推的方法定義：f(1)=1，f(2)=1, f(n)=f(n-1)+f(n-2)（n>=3，n∈n*）在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用。大致就是這樣。
時間複雜度：o(2^n)
空間複雜度：o(n)
這是最簡單的遞迴，只有兩行**，是不是很簡單呢？
public int recursion(int num) 複製**但是這種實現的缺陷是重複計算的次數太多了，效率極其低下：
f(3) = f(1) + f(2);
f(4) = f(2) + f(3);
f(5) = f(3) + f(4);
f(6) = f(5) + f(6);
當計算到f(6)的時候，f(3)就已經重複了3次,因此改造一下：
public int recursion(int num)
int res = recursion(num - 1) + recursion(num - 2);
rescache.put(num, res);
return res;
}複製**
ps：加乙個hashmap來做快取，避免重複計算
時間複雜度：o(n-2)約等於0(n)
空間複雜度：o(n-2)約等於0(n)（編譯器如果優化的話是o（1））
先簡單了解一下什麼是尾遞迴。
定義：在乙個程式中，執行的最後一條語句是對自己的呼叫，而且沒有別的運算
尾遞迴的實現：是在編譯器優化的條件下實現的
小知識（編譯器優化）：
遞迴的第一次呼叫時會開闢乙份空間，此後的遞迴呼叫不會再開闢空間，而是在剛才開闢的空間上做一些修改，實現此次遞迴，例如求f(10)，編譯器會給f(10)的呼叫開闢棧幀，呼叫f(9)的時候不會再重新開闢棧幀，而是在剛開闢的棧幀上做一些修改，因為遞迴的每一次呼叫都是一樣的流程，只是會有一些資料不同，所以不會再開闢空間。
public int tailrecursion(int num, int first, int second) 複製**下面兩種是非遞迴的實現，就比較簡單了，在此不做闡述。
public int commonrcursion(int num)
return res;
}複製**
public int arrayrecursion(int num)
return arrays[num];
}複製**
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