矩陣基礎 1 行優先和列優先的問題

原

2023年08月18日 18:37:00

林微

摘要本文主要**的是「行優先」原則和「列優先」原則的問題。

1. 背景

首先了解「行優先」和「列優先」的知識，這兩種方式在數學上的直觀描述如下，給定如下矩陣：

根據行優先的原則，其排序方式為

根據列優先的原則，其排序方式為

2. 計算機領域的應用

行列優先原則在計算機領域的應用主要如下。行優先或者列優先沒有好壞，但其直接涉及到對記憶體中資料的最佳儲存訪問方式。因為在記憶體使用上，程式訪問的記憶體位址之間連續性越好，程式的訪問效率就越高；相應地，程式訪問的記憶體位址之間連續性越差。所以，我們應該盡量在行優先機制的編譯器，比如c/c++，cuda等等上，採用行優先的資料儲存方式；在列優先機制的編譯器，比如fortune, matlab等等上，採用列優先的資料儲存方式。但這種思想滲透到程式設計中之後，**的質量就會提高乙個檔次。

3. 以矩陣計算為例（matlab編譯器下測試）

% data
a = [ 1 1
2 23 3 
4 45 5
6 67 7
8 89 9];
b = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9];
c = zeros(9,9);
% the method of matrix multiplication in matlab
tic 
c = a*b;
toc%　our impletation method of matrix multiplication
ticfor ra = 1:9 % raws of the matrix a
for cb = 1:9 % columns of the matrix b
for len = 1:2 
c(ra,cb) = a(ra,len)*b(len,cb)+c(ra,cb); 
endend
endtoc
% optimal method 1 
ticfor cb = 1:9 % columns of the matrix b
for ra = 1:9 % raws of the matrix a
for len = 1:2 
c(ra,cb) = a(ra,len)*b(len,cb)+c(ra,cb); 
endend
endtoc
% advanced optimal method 2
a = a'; % you can also directly given a = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
%                                   1 2 3 4 5 6 7 8 9];
b = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9];
ticfor i = 1:9 % columns of the matrix a
for j = 1:9 % columns of the matrix b
for len = 1:2
c(i,j) = a(len,i)*b(len,j)+c(i,j);
endend
end         
toc

4. 測試和分析

測試結果如上圖所示，第乙個時間為matlab自帶的乘法運算，第二個為我們原始實現的乘法計算，第三個為迴圈中行列變換（適應列優先編譯器的處理）。

最重要的是第四個是本人原創的矩陣乘法方法，簡單地說就是將a矩陣轉置，然後設計相應的演算法實現矩陣乘運算。在這個點上，希望在理解原理的基礎上能給讀者一些啟發。在本例中，這樣做效率最高，原因其一是本例中原始資料結構上適合我這樣處理；原因其二是這樣做的目的是使得任何乙個子乘法的處理上，兩乘數所在的記憶體空間上都是連續，而不僅僅是乙個連續（注意：這是本文的核心，讀者理解透了一定會很有收穫，認真看我給出的程式實現。這是核心，不懂的可以交流思想）！

另外，本文中我給出的這個方法是矩陣乘法裡面最優的方法，至少數學邏輯上是這樣。之所以matlab自帶的乘法計算之所以效能還不錯，是因為matlab自帶的運算都是經過優化的，包括硬體加速，系統加速等自己設計的應用很能呼叫加速方法。

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