兩個尚未解決的素數問題

2021-08-29 11:42:54 字數 1040 閱讀 2502

其中乙個是有名的哥德**猜想。哥德**(goldbach, 1690~1764)除了2023年在給尤拉的一封信中提到這個問題以外,在數學史上並沒有什麼地位。哥德**問尤拉:能不能證明所有偶數(除2以外)都能表示成兩個素數之和,或者至少找出乙個反例來否定它。尤拉沒能給出回答,而且從那時以來沒有乙個人給出過回答。對於每乙個偶數能表示為兩個素數之和這一命題,試驗的結果是完全令人信服的,任何乙個人都可以用大量的例子來驗證它。困難的原因是:素數是用乘法定義的,而哥德**猜想涉及到加法。一般來說,在自然數的乘法性質和加法性質之間建立聯絡是困難的。

直到不久以前,哥德**猜想的證明似乎還是完全無法進行的,但今天看來不再是不能解決的了。2023年,當時乙個不知名的年輕蘇聯科學家斯尼爾曼(schnirelmann, 1905~1938)取得乙個完全沒料想到的成就,它使所有的專家都感到吃驚。他證明了每乙個正整數能表示成不超過300000個素數之和。雖然與證明哥德**猜想當初的目標來比,這個結果是很可笑的,但它畢竟是邁向這個目標的第一步。這是乙個直接的、構造性的證明,雖然對任意正整數的素數分解,它並沒有提供任何實際方法。更近一些,蘇聯數學家維諾格拉托夫(vinogradoff),用了哈代(hardy)、李特伍德(littlewood)和他倆的合作者印度人拉瑪紐加(ramanujan)的方法,成功的把個數由300000減為4.這比較接近於哥德**問題的解決。但在斯尼爾曼的結論和維諾格拉托夫的結論之間還存在著乙個重大的差異,這可能比300000和4之間的差別更顯著。維諾格拉托夫的定理只對「充分大」的自然數成立;更確切的說,他證明了,存在乙個正整數n,對於任意n>n的整數,都能表示為不超過4個素數的和。維諾格拉托夫的證明未能告訴我們怎樣確定這個n,它與斯尼爾曼的定理相反,本質上是乙個間接的、非構造性的證明,維諾格拉托夫實際上證明了:假設有無窮多個整數不能分解為最多4個素數之和,就會產生乙個荒謬的結果。這是乙個很好的例子,表明兩種證明方法(直接方法和反證法)之間的深刻差別。

另乙個甚至比哥德**問題更引人注目的問題,卻還沒有一點解決的途徑。人們早就注意到,素數經常以p和p+2的形式成對出現。例如3和5,11和13,29和31等等,人們相信「存在無窮多個這樣的素數對」的命題是對的,但至今在解決這個問題的方向上,還根本談不上有什麼辦法。

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