演算法入門系列一 DP初步

其實動態規劃本身並不是乙個特定的演算法，是一種用途廣泛的問題求解方法，一種思想，一種手段。

有乙個有非負整數組成的三角形，第一行乙個數字，下面各行除了最後一行外，每行的每個數字下面左右各乙個數字。

如圖示：

從第一行數字開始，每次只能走左下或右下一格，直到走到最後一行，把沿途的走過的所有數字加起來。

如何能使這個和最大？

【問題複雜度分析】如果熟悉回溯法，就會立即發現這是乙個動態的決策問題：每次兩個選擇----左下或右下。

但是如果選擇用回溯法解決此問題，慣常的問題就是效率太低：一格n層的數字三角形的完整路線有2^n條，所以當n很大時完全不能靠此方法。

因此為了提高效率，需要把此問題抽象：把所有的位置（i，j）抽象為乙個個不同的狀態，然後定義狀態（i，j）的指標函式d（i，j）為從格仔（i，j）出發時能得到的最大的和（包括此格仔本身）。在這個定義下，原問題的解是d（1,1）。

如下圖：

【狀態轉移分析】從格仔（i,j）出發有兩種決策。若往左走，則走到（i+1,j）後續要求「從（i+1,j）出發後能得到的最大和「這一問題，即是d（i+1,j）。類似的，往右做之後要求解d（i，j+1）。由於這兩個選擇自由可選，所以，應該選擇較大的。即得到了所謂的狀態轉移方程：

d(i,j) = a(i,j) + max

最優子結構：如果往左走，最好的情況是(i,j)格仔裡面的值a(i,j) 與」從（i+1,j）出發後能得到的最大和"之和，注意"最大"兩個字,如果從(i，j)出發到底部這部分都不是最大的話，加上a(i,j)也必然不是最大的。這就是最優子結構。或描述全域性最優解包含區域性最優解。

【總結】動態規劃的核心是狀態和狀態轉移方程。

**如下：（注意邊界）

int d(int i, int j)

如此計算正確只是效率依然不高，問題在於重複計算。就是一些格仔被兩個父節點所共有，所以，在遞迴的時候，便會被重複計算。**如下：

（注意此時重複邊界的處理）

int  i, j;
for (j=1; j<=n; j++)
d[n][j] = a[n][j] ;
for (i=n-1; i>=1; i--)
for (j=1; j<=i; j++)

時間複雜度顯然是o(n^2),

可以如此計算的原因在於：i是逆序列舉的，因此在計算d[i] [j] 之前，他所需要的d[i+1][j]

和 d[i][j+1] 已經計算出來了。

程式分為兩部分。首先用陣列函式memset（）;將陣列整體置為-1，然後寫遞迴函式：

int d(int i, int j)

依然是遞迴函式，同時把計算結果存在陣列d中。題目說各個數字均為非負數，因此如已經計算過某個d[i][j],那麼期應該是非負數。這樣只需要把所有的陣列元素初始化為負數，如-1，就可以知道是否計算過d[i][j].

注意：不要忘記把結果存在陣列d[i][j]中。根絕c語言的」賦值語句本身有返回值「的規定，可以把儲存d[i][j]的工作整合在函式的返回語句中。

上述的方法三稱為記憶化，雖然不像地推算法那樣顯示的指明了計算的順序，但是任然可以保證每個節點只訪問了一次。

由於i和j都在1~n之間，所以所有的不同的節點之間一共有o(n^2)個。即是時間複雜度。

hdoj--2084

未完待續...................