梯度下降演算法，它主要的實現功能，是乙個優化演算法，通過給出的例項來不斷逼近某個模型。
例如用下山的例子來解釋梯度下降演算法，我們要最快速的下山，第乙個是找到最陡的坡，第二個是邁出適當的步伐。兩者結合才能達到最快的速度。
從山頂下山：1.最陡峭 2.適當步伐。
1.如果不是最陡峭的路，那麼我們走緩坡，可能會延長路徑長度
2.如果不是適當步伐，走少了，我們需要多邁步，走多了，我們需要重新規劃路徑
如何找到最陡峭的路，利用梯度。
函式式子求導，得出的結果，就是梯度，也是變化率。
多元函式時，對每乙個變數，分別求導。
其實很簡單，具備大學高數的基礎知識就能理解，即多元微分。
所以說，最陡峭的地方，就是梯度所指方向，當然，在這裡指的是其反方向。因為我們要下山，而不是上山。我們按照梯度所指方向，就能夠最快速到達最低點。
上述已經基本描述清楚梯度下降講的是個什麼東西，下面通過標準的數學方式來解釋：
第乙個引數代表下一步的位置
第二個引數代表當前位置
因為是反方向，所以是負號
a代表步長，每邁出一步的距離，如上文所說，不能太大也不能太小
有函式：
其微分為：
起點：步長設定為 0.1
根據梯度下降公式，我們計算：
下面的各個值為：
此時的值足夠小，可以被認為到達山腳下。這個模型只是無限逼近，不會達到最後的最小值0.
同理二元函式也可以達到。
給定許多資料，例如許多座標，來擬合成一條線性的直線。
感知機（perceptron）為二類分類的線性分類模型。 輸入為例項的特徵向量，輸出為例項的類別， 取+1 和 -1 二值。
什麼是感知機：對於神經網路模型來說，如果不採用啟用函式，而用線性進行處理，無論中間怎麼處理，最後得到的結果還是線性的結果。如果加入啟用函式，就可以被用於擬合各種非線性模型中去。
下面這個例項，給出了很多的點，然後根據梯度下降演算法來求出擬合的直線。
用**進行運算：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""created on mon aug 27 15:11:52 2018
@author: zlee
"""import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import plot
import numpy as np
m = 20
x0 = np.ones((m, 1)) #組成乙個陣列為【i,1】的座標集合
x1 = np.arange(1, m+1).reshape(m, 1) #arrange根據生成的start與end生成乙個ndarray陣列，reshape給陣列乙個新的形狀而不改變其資料
x = np.hstack((x0, x1)) # 堆疊陣列水平順序（列）
y = np.array([ 3, 4, 5, 5, 2, 4, 7, 8, 11, 8, 12, 11, 13, 13, 16, 17, 18, 17, 19, 21 ]).reshape(m, 1)
# the learning rate alpha.
alpha = 0.01
'''代價函式
'''def error_function(theta, x, y):
diff = np.dot(x, theta) - y
return (1./2*m) * np.dot(np.transpose(diff), diff)
'''代價函式梯度
'''def gradient_function(theta, x, y):
diff = np.dot(x, theta) - y
return (1./m) * np.dot(np.transpose(x), diff)
'''梯度下降迭代計算
'''def gradient_descent(x, y, alpha):
theta = np.array([1, 1]).reshape(2, 1) #陣列轉為兩行一列
gradient = gradient_function(theta, x, y)
while not np.all(np.absolute(gradient) <= 1e-5):
theta = theta - alpha * gradient
gradient = gradient_function(theta, x, y)
return theta
#折線圖繪製函式
plot(y,'r*')
plt.show()
optimal = gradient_descent(x, y, alpha)
print('optimal:', optimal)
print('error function:', error_function(optimal, x, y)[0,0])
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