<1> 分析博弈: 小紅是個遊戲迷，他和小藍一起玩拿石子遊戲。遊戲規則為2個人輪流拿石子。一次可以拿1顆或3顆，規定誰取到最後一顆石子誰就勝出。最後決定由小紅先取。兩人都是遊戲高手，該贏的絕不會輸(表示不會失誤）。問在知道石子總數的情況下，怎樣快速**誰將會勝出。
取石子分為3種情況:
①: (1, 1) 共取走2個石子
②: (1, 3) 共取走4個石子
③: (3, 1) 共取走4個石子
④: (3, 3) 共取走6個石子
則最後會剩下0, 1, 3三種情況的石子
設①共進行n1次, ②進行n2次, ③進行n3次, ④進行n4次 ,最後剩下的為k個
則總數 s = (1 + 1)*n1 + (1 + 3)*n2 + (3 + 1)*n3 + (3 + 3)*n4 + k
= 2*n1 + 4*n2 + 4*n3 + 6*n4 + k
= 2 * (n1 + 2*n2 + 2*n3 + 3*n3) + k
因為 2 * (n1 + 2*n2 + 2*n3 + 3*n3) 為偶數, 所以剩下 k 個的時候, 又該第乙個人取了
當 k = 1 或者 3 時, 必勝;
當 k = 0 時, 必敗;
可以寫成:
k 為偶數時, 必敗;
反之, 必勝;
又因為 s 的奇偶性取決於 k 的奇偶性, 所以 k 的奇偶性關係到整個遊戲的成敗
所以直接判斷 s 奇偶就可以了
①: s 為奇數, 則 k 為1或3, 必勝
②: s 為偶數, 則 k 為0, 必敗
<2> 威佐夫博弈: 兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取乙個，
多者不限，最後取光者得勝。
我們用（ak，bk）（ak ≤ bk ，k=0，1，2，……，n）表示兩堆物品的數量並稱其為局勢，如果甲
面對（0，0），那麼甲已經輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢:
(0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）..
可以看出，a0 = b0 = 0，ak是未在前面出現過的最小自然數，而 bk = ak + k，奇異局勢有如下三條性質：
性質1: 任何自然數都包含在乙個且僅有乙個的奇異局勢中
證: 因為ak 為未在前面出現過的最小自然數,那麼ak > ak-1, 所以bk = ak + k > [ak-1 + (k - 1)] == bk-1
所以性質1成立
性質2: 任意操作都可以把奇異局勢變為非奇異局勢
若只修改(ak, bk)其中乙個分量,則另乙個分量不可能是另乙個奇異局勢的分量,必為非奇異局勢
若把兩個都減去同乙個值,則兩個分量的差值沒有變,故必為非奇異局勢
性質3: 進行適當的操作, 就可以將非奇異局勢變為奇異局勢
假設當前局勢是(a, b)
if (a == b) 同時取走 a 個物品, 局勢變為(0, 0)
if (a == ak && b > bk) 取走b - bk個物品, 局勢變為(ak, bk)
if (a == ak && b < bk) 未完成
if (a > ak && b == ak + k) 取走a - ak個物品, 局勢變為(ak, bk)
if(a < ak && b == ak + k) 未完成
if(a == aj (j < k)) 取走b - bj個物品, 局勢變為(aj, bj)
if(a == bj (j < k)) 取走b - aj個物品, 局勢變為(aj, bj)
故從上面的3個性質得到, 奇異局勢可以變為非奇異局勢, 非奇異局勢可以變為奇異局勢;
所以面對奇異局勢, 先手必敗, 反之必勝
判斷奇異局勢:
假如局勢是(a, b), 有如下公式
**分割數
| |
ak = [k * (1 + √5) / 2] (方括號表示取整)
bk = ak + k
注:k 為 a 與 b 的差值
若滿足上述條件, 則為奇異局勢, 即先手必敗
<3> 斐波那契博弈:
未完成nim:
證: a1 ^ a2 ^ a3 ^… ^ an = j
at ^ j < at && at ^ j < j
取石子使at => at ^ j
原式 = j ^ j = 0
階梯nim遊戲:
有n個位置1…n, 每個位置上有ai個石子. 有兩個人輪流操作。操作步驟是：
挑選1…n中任一乙個存在石子的位置i, 將至少1個石子移動至i−1位置（也就是最
後所有石子都 堆在在0這個位置), 誰不能操作誰輸。
求先手必勝還是必敗。
只看奇數字的石子堆, 進行nim遊戲, 也就是計算奇數字石子數量的異或和若某個人想要破環造成
的nim局勢, 將偶數字的石子移到了奇數字, 那麼另乙個人就可以將移到i位置的石子移到i-1,
nim局勢仍然沒變, 故只用看奇數字的nim異或和即可了
後續點:是指按題目要求的走法可以一步達到的那乙個點
博弈論筆記
不懂得止損 沉沒成本的存在 有乙個明顯的誘餌 通往誘餌之路是單向的，可進不可出 越想掙脫就陷越深 有沉沒成本的地方就會有萬元陷阱。投資已經過半後，如果要改變投資方向或暫停投資都是頗為困難的事情。經濟 理性 動機 挽回損失 非經濟 感性 動機 挽回面子 既然事情已經發生，請坦然接受 目前的一小部分損失...
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eg hdu2149，2156 描述 只有一堆n個石子，每次能取1到m個物品，a先手，問誰能先取完石子 思路 這種問題的關鍵就在於能否取到關鍵點，比如，這裡只能能取到倒數m 2個石子，留下m 1個石子，則後者就必敗。結論 如果初始石子是 m 1 的倍數，則先手必敗，否則先手必勝。eg hdu2177...
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個人實在太懶 所以直接抄啦 點球案例 在一次足球比賽罰點球時，罰球隊員可以選擇l,m,r三種不同射門路徑 門將可以選擇撲向左路或者右路 原則上講他也可以守在右路 lr l4,4 9,9 m6,6 6,6 r9,9 4,4 該錶表示各自的收益，其中，lr對應的9表示當射手射向左路而門將撲向右路時，射手...