二代小波基礎

現在我就舉例，對乙個8點序列，怎樣實現第二代小波變換。

1. 奇偶分開。

非常簡單，就是[2,4,6,8]組成一列向量，[1,3,5

,7]組成一列向量。

2. **。

用[2,4,6,8]來**[1,3,5,7]。比如說1，3估計2； 3，5估計4； 5，7估計6； 7，1估計8。

（邊緣處理，我採用迴圈方法）。估計公式可以用別人的，也可以自己做。舉乙個線性的例子

：2=1*a+3*b,4=3*a+5*b,...，其他的都一樣。這樣我們就可找到最優的a,b，使得(2-(1*a+3*

b)).^2+(4-(3*a+5*b)).^2+...最小化。就是最小均方準則。若正好為零，說明偶可以完全預

測奇，也就是我們只要儲存偶數列向量，和a,b就可以了，壓縮也就是實現了。對於訊號很長

序列，就等於壓縮了一半。當然，我們可以採用更複雜的立方差值**，多項式**，或其它

的準則，來使其最小，這樣我們的壓縮也就得到了最優。

3. 提公升。

我們總希望，均方為零，但可望不可及。於是，提公升就需要了。我們經過**後，要儲存的是

偶數序列[2,4,6,8]，新的奇數序列[n1,n3,n5,n7]=[2-(1*a+3*b),4-(3*a+5*b),...]和線性變

換係數(a,b)。這裡新的奇數序列就是高頻分量。但偶數序列是不能完全代表訊號的性質的，

有所差距。所以我們要對偶數序列進行修正。即所謂的提公升。我們這次用個簡單的提公升吧。[n

2,n4,n6,n8]=[2,4,6,8]+k*[n1,n3,n5,n7]。[n2,n4,n6,n8],就是要分解的低頻分量。那k怎麼

求呢？因為要保持n2,n4,n6,n8和原始訊號[1,2,3,4,5,6,7,8]一樣的性質。一般就是均值和高

階矩。這裡就乙個未知數k,所以用均值相等，就行了。1/8*(1+2+3+..8)=1/4*(n2+n4+n6+n8)

。k很容易就求出來了。我們最終儲存的就是[n1,n3,n5,n7]和[n2,n4,n6,n8]以及a,b,k。

現在，所謂的第二代就完了。再說幾句。

1.反變換，就是3->2->1。

2.二維。先行提公升，再列提公升。（我置頂的貼子裡有harr二維提公升的源**）。

3.整數階。就是加乙個取整。

4.多層或小波包提公升，就是在對序列[n1,n3,n5,n7]或[n2,n4,n6,n8]，再做1->2->3。

5.靈活。不一定是a,b,也可能就乙個a,或a,b,c;不一定是乙個k,也可能是k1,k2。但越多計算

量太大。最好是用大師們做好的cdf,5/3,7/9等。

6.最重要的，任何一代小波，總可以通過一次或多次提公升實現。它和一代小波沒有本質區別。

7.優勢。文獻都有，我隨便談談。時域實現，最優壓縮，無邊緣效應，靈活多變，無失真壓縮，

程式設計方便，速度快。

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