資料結構（2）演算法和演算法分析

資料結構與演算法之間存在著本質聯絡。

演算法的定義及特性：

演算法是為了解決某類為而規定的乙個有限長的操作序列。

乙個演算法必須滿足一下五個重要特性。

演算法的時間複雜度：一般情況下，演算法中基本語句重複執行的次數是問題規模n的某個函式f(n)，演算法的時間量度記作t(n)=o(f(n)) 它表示雖問題規模n的增大，演算法執行時間的增長率和f(n)的增長率相同，稱作演算法的漸進複雜度，簡稱時間複雜度。

在計算演算法時間複雜度時，可以忽略所有低次冪項和最高次冪的洗漱，這樣可以簡化演算法分析，也體現出了增長率的含義。

非遞迴演算法的時間複雜度：

1.常量階示例

for(int i = 0; i < 10000; i++)

如上例，如果演算法的執行時間不對問題規模n的增加而增長，演算法中語句頻度就是某個常數，即使這個常數再大，演算法的時間複雜度都是o(1)。

2.線性階示例、

for(int i = 0; i < n; i++)

迴圈體內兩條基本語句的頻度均為f(n) = n，所以演算法的時間複雜度為t(n) = o(n)，稱為線性階。

3.平方階示例

for(int k = 0; k < n; k++)
x++;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
y++;

對迴圈語句秩序考慮迴圈體中的執行語句，以上程式段中頻度最大（一條語句的重複執行次數稱作語句頻度）是y++;，其頻度為f(n)=n^2,所以該演算法的時間複雜度為t(n)=o(n^2)，稱為平方階。

4.對數階示例

for(int i = 1; i <= n; i *= 2)

該演算法的時間複雜度為t(n)=o(log2n),稱為對數階。

常見的演算法時間複雜度按數量級排序依次為：常量階o(1)、對數階o(log2n)、線性階o(n)、線性對數階o(nlog2n)、平方階o(n^2)、立方階o(n^3)、……、k次方階o(n^k)、指數階o(2^n)等。

演算法的空間複雜度：

與時間複雜度相似，用漸近空間複雜度作為演算法所需儲存空間的量度，簡稱空間複雜度。

for(int i = 0; i < n/2; i++)

上述示例**中僅需借助乙個變數t，與問題規模n大小無關，所以其空間複雜度為o(1).

for(int i = 0; i < n; i++)
b[i] = a[n-i-1];
for(int i = 0; i < n; i++);
a[i] = b[i];

上述示例**中需要另外借助乙個大小為n的輔助陣列b，所以其空間複雜度為o(n)。

最後，對於乙個演算法，其時間複雜度和空間複雜度往往是相互影響的，當追求乙個較好的時間複雜度時，可能會導致占用較多的儲存空間，即可能空間複雜度的效能便車，反之亦然。不過，通常情況下，鑑於運算空間較為充足，我們都已演算法的時間複雜度作為演算法優劣的衡量標準。

資料結構（2） 演算法和演算法分析