進製與位運算

1）理解個x進製的概念 :

每一位只允許出現 0~x-1 這幾個數字,逢x進一,基是x, 每一位有乙個權值大小是x的冪次。其表示的數值可以寫成按位權展開的多項式之和。

十進位制:

每一位只允許出現0~9這十個數字,逢十進1,基是十,每一位數字有乙個權值大小是十的冪次。

其表示的數值可以寫成按位權展開的多項式之和。

二進位制:

每一位只允許出現0~1這二個數字,逢二進1,基是二,

每一位數字有乙個權值大小是二的冪次。其表示的數值可以寫成按位權展開的多項式之和。

還有八進位制和十六進製制

2）假如用兩個位元組表示乙個整數，

如下：

十進位制數字1 的二進位制表現形式: 0000 0000 0000 0001

十進位制數字2 的二進位制表現形式: 0000 0000 0000 0010

如何表示二進位制數的正負？

3）有符號數和無符號數的概念

規則：把二進位制數中的最高位（最左邊的那位）用作符號位

對於有符號數，最高位被計算機系統規定為符號位(0為正,1為負)

對於無符號數，最高位被計算機系統規定為資料位

按照這種說法，比如有符號數 +2 -2 的原碼形式：

+2 = 0000 0000 0000 0010
-2 = 1000 0000 0000 0010
真值      機器數

+1 = 0000 0000 0000 0001 -1 = 1000 0000 0000 0001 -----------------------------------------

1000 0000 0000 0010

-1+1 的結果？

-1+1 = 1000 0000 0000 0010 ----》 -2

不等於0，按理說-1+1等於0才對，為什麼會是-2呢？

規則

數字在計算機中，是用二進位制補碼的形式來儲存的，因此-1 +1需要按照補碼進行相加才是正確的結果

1）如何計算補碼？

規則:
正數：原碼 = 反碼 = 補碼
負數：反碼 = 符號位不變，其他位取反
補碼 = 反碼+1

1 的原碼：0000 0000 0000 0001 -1的原碼：1000 0000 0000 0001 -1的反碼：1111 1111 1111 1110

-1的補碼：1111 1111 1111 1111

重新計算 -1+1 結果

1111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0001 ---------------------------

0000 0000 0000 0000

2）從補碼轉回原碼

負數補碼轉換原碼的規則:

原碼 = 補碼的符號位不變 -->資料位取反--> 尾+1 -1的補碼:1111 1111 1111 1111 取反:1000 0000 0000 0000

-1的原碼:1000 0000 0000 0001

可以把減法用加法來算，只需設計加法器就好了。運算的時候都是用補碼去運算的。

2-1 = 2+(-1)=0000 0000 0000 0010 +1111 1111 1111 1111

為何要使用原碼, 反碼和補碼

既然原碼才是被人腦直接識別並用於計算表示方式, 為何還會有反碼和補碼呢?

首先, 因為人腦可以知道第一位是符號位, 在計算的時候我們會根據符號位, 選擇對應加減，但是對於計算機，加減乘數已經是最基礎的運算, 要設計的盡量簡單。計算機辨別"符號位"顯然會讓計算機的基礎電路設計變得十分複雜！於是人們想出了將符號位也參與運算的方法.

我們知道，根據運算法則減去乙個正數等於加上乙個負數, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機器可以只有加法而沒有減法, 這樣計算機運算的設計就更簡單了.於是人們開始探索將符號位參與運算, 並且只保留加法的方法。

如果有乙個十進位制數 5，其二進位制為:0000 0101

把所有的數向左移動一位其結果為:0000 1010

想一想:二進位制 0000 1010 十進位制是多少呢？？？其答案為10，有沒有發現是5的2倍呢！

再假設有乙個十進位制數 3，其二進位制為:0000 0011

把所有的數向左移動一位其結果為:0000 0110

二進位制0000 0110 的十進位制為6，正好也是3的2倍

通過以上2個例子，能夠看出，把乙個數的各位整體向左移動乙個位，就變成原來的2倍

那麼在python中，怎樣實現向左移動呢？還有其他的嗎？？？

用途: 直接操作二進位制,省記憶體,效率高

1）<< 按位左移

各二進位全部左移n位,高位丟棄,低位補0

x << n 左移 x 的所有二進位制位向左移動n位,移出位刪掉,移進的位補零

【注意事項】

b.左移可能會改變乙個數的正負性

2)>> 右移

各二進位全部右移n位,保持符號位不變

x >> n x的所有二進位制位向右移動n位,移出的位刪掉,移進的位補符號位右移不會改變乙個數的符號

【注意事項】

3)& 按位與

全1才1否則0 :只有對應的兩個二進位均為1時,結果位才為1,否則為0

4) | 按位或

有1就1 只要對應的二個二進位有乙個為1時,結果位就為1,否則為0

5) ^ 按位異或

不同為1 當對應的二進位相異(不相同)時,結果為1,否則為0

6) ~ 取反

~9 = -10

【為什麼9取反變成了-10的說明】：

9的原碼 ==> 0000 1001 因為正數的原碼=反碼=補碼，所以在真正儲存的時候就是0000 1001

接下來進行對9的補碼進行取反操作

進行取反==> 1111 0110 這就是對9 進行了取反之後的補碼

既然已經知道了補碼，那麼接下來只要轉換為咱們人能識別的碼型就可以，因此按照規則，把這個1111 0110 這個補碼轉換為原碼即可

符號位不變，其它位取反==> 1000 1001

然後+1 ，得到原碼 *****==>1000 1010 這就是 -10

任何數和1進行&操作,得到這個數的最低位數字&1 = 數字的二進位制形式的最低位

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go 數的進製與位運算

php 位運算與許可權,PHP中的位運算和進製處理

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