資料結構 Binary Indexed Tree

二叉索引樹《樹狀陣列》

假設我們有n個盒子，該資料結構就可以使我們快速的進行以下兩個操作：

1.第i個盒子的增改《更改點資料》

2.第k個到第i個盒子資料的累加和《區間求值》

時間複雜度均為 o(logn)

核心思想：二分法

其主要由三個函式構成：

int lowbit(int x)
/*與資料索引相關聯*/

int sum(int x)
return amount;
}/*計算 1 - x 段的和*/

void updata(int x,int val)
}/*增改資料*/

首先我們把目光放在第乙個函式lowbit，我們都知道計算機裡面，整數都是使用補碼來表示，假設x為7的話，那麼它的二進位制就是0111，而-x就是其取反加1的結果，也就是1001那將他們相與的結果就是0001，這就是該函式的結果。而它的作用將會在下兩個函式中起到畫龍點睛的作用。

現在，我們知道了lowbit函式所能夠帶來的結果，但它的真正意義是什麼呢？筆者也百思不得其解，但研究上圖，以及聯絡**來看，其主要是起聯絡和簡化的作用（本人拙見，望諸君指點）

讓我們通過這樣一組資料來繼續進行了解。明白兩個概念

概念1.對於每乙個結點 i ，如果它是左子節點其父節點為 i+lowbit ，若為右，則為 i - lowbit.

概念2.每乙個tree陣列的值都對應一段連續和.

看上圖的虛線和深色點，將其相連是不是一顆二叉樹。tree陣列裡包含的就是結點的資料

再結合概念2也就不難明白tree的值了。

舉個栗子了解updata函式，如果我們對第3結點進行 +1 操作，我們發現，這並不只是單單加一這麼簡單，對其進行操作對後面的tree陣列的值也有影響，所以，也要將與之關聯的進行同樣的+1操作。

(操作後影響的結果)

sum函式值的計算同樣是基於這一點，我們仍然用7來舉栗子

7的二進位制是0111 根據**先累加7結點的資料，再回溯累加6的，再回溯累加4的，結束，返回值。

可能有讀者會問，為什麼要回溯6，4？

7（0111）的lowbit 為1 減之為6

6（0110）的lowbit 為2 減之為4

4（0100）的lowbit 為4 減之為0 結束

這樣，在普通陣列需要7次操作的運算，通過這種方法只需要3次就足夠了,可以說是極大的優化

從巨集觀角度來說就是將其代表的線段和累加，而這也是基於二分之上所做的。

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