51nod 1201 整數劃分

1201 整數劃分

基準時間限制：1 秒空間限制：131072 kb 分值: 80

難度：5級演算法題

將n分為若干個不同整數的和，有多少種不同的劃分方式，例如：n = 6，，共4種。由於資料較大，輸出mod 10^9 + 7的結果即可。

input

輸入1個數n(1 <= n <= 50000)。

output

輸出劃分的數量mod 10^9 + 7。

input示例

output示例

題解：設dp[j][i]為取了前j個數，和為i的方案。要到達dp[j][i],有兩種方案：

第一種方案不增加新元素，即從dp[j][x]到達dp[j][i]，為了保證不重複，故每個元素+1，即x = i - j;

第二種方案增加新元素，即從dp[j - 1][x]到達dp[j][i]，為了保證dp[j - 1][x]與dp[j][x]不重複，我們發現dp[j][x]的元素都大1，故dp[j - 1][x]的新增元素為1，即x = i - j;

故轉移方程為：dp[j][i] = dp[j][i - j] + dp[j - 1][i - j]。此種方法時間空間複雜度都為o（n^2），超時超記憶體！

將n個數分成兩部分[0, (sqrt(n) + 0.9)),[(sqrt(n) + 0.9), n];

對於第一部分使用01背部。時間為o(n * (sqrt(n) + 0.9))；

對於第二部分，每個元素至多取(sqrt(n) + 0.9)次，我們定義第一位是取j個元素，故我們可以使用轉移方程：dp[j][i] = dp[j][i - j] + dp[j - 1][i - j]；注意，因為新增元素不是1而是(sqrt(n) + 0.9),故需要改變轉移方程，

最終的方程為:dp[j][i] = dp[j][i - j] + dp[j - 1][i - j - (sqrt(n) + 0.9) + 1];複雜度也為o(n * (sqrt(n) + 0.9));記錄乙個f1陣列，

f1[i] = ∑(1<=x<=(sqrt(n) + 0.9))dp[x][i];

最終乘起來即可！

ac**

#include #include #include #include #include #include #include #include #include typedef long long ll;
using namespace std;
const ll maxn = 55555, mod = 1e9 + 7;
ll dp[244][maxn] = , f[maxn] = , f1[maxn] = ;
int main()
dp[1][m] = 1;
for(ll i = m; i <= n; i++)
}	ll ans = 0;
for(ll i = 0; i <= n; i++)
ans = (ans + f1[i] * f[n - i]) % mod;
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}

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