動態表的擴張與收縮

應用

這部分內容是clrs為介紹平攤分析方法而引入的例子，在實際中也可以用與設計動態表，如stl中的vector模板。vector是個動態表，可以不斷插入和刪除元素仍然保持良好的複雜度。什麼時候擴張表，什麼時候收縮表很重要，決定了相關操作的執行時間。

擴張乙個動態表不會一直擴張，往往在是現有的表滿載的情況下，再次插入乙個元素才會導致表擴張。表擴張時，先申請乙個更大的新錶，然後把現有的表中的元素逐個複製進新表，再把這個元素插進去。

那麼申請多大的表合適呢？乙個自然的想法是申請乙個兩倍大小的新錶。

接著定義承載因子： α=

nums

ize

注，空表的α定義為1（0/0）。承載因子反映了表的負載情況，可以知道a總是大於等於0.5小於等於1。表滿載時，α = 1，接下來進行表拓張，a = 0.5。插入操作會使得α增大。

接下來分析對錶進行n個插入操作，t(n)是多少。

通過聚合分析可以知道，t(n) = o(n)。

通過記賬法，設第i（i是2的次冪）個操作的平攤時間是 i=

2k−1

+2k−

2∗1−

1 ，例如第8個插入的均攤時間為 1 + 1 + 1 + 8 ,前面為 5 - 7的實際代價，後面是把前面七個複製+再插入自己的代價。類似，第16個操作為 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 16。

就是勢能方法了。

勢能法分析表插入操作，通過公式計算，無論是否觸發表擴張，插入的均攤時間都是3，故t(n) = o(n)。每個插入都是線性的。

擴張和收縮

動態表擴張的下半部分考慮了n個操作中，包含插入和刪除操作。刪除會使得α變小，當α小到一定程度，會進行表的收縮操作。那麼這個程度是多少呢？自然地我們也按照上文的0.5來考慮。但是，這個界限是有隱患的。

假設採用α = 0.5這個界限來設計表收縮操作，那麼當表處於乙個臨界狀態，這時對錶進行插入操作，導致表拓張，α變回0.5。這時再對錶進行刪除，將導致表收縮。頻繁地進行這樣的操作，效能會惡化。

於是要採取另乙個界限，避免上述的情況。書中給出的例子是a = 1/4時，進行表的收縮。