有趣的演算法撈魚問題

勇幸|thinking (

---話說這道題還是三年前徑點公司來學院筆試中的一道題目，當時剛進入實驗室，師兄在帶著我們做新生培訓的時候做過這道題，最近回顧dp的一些基礎，翻找以前寫的程式，發現了這道題，就貼一下，給出兩種方法的**，並對比了它們在不同規模問題下的效率。

題目：20個桶，每個桶中有10條魚，用網從每個桶中抓魚，每次可以抓住的條數隨機，每個桶只能抓一次，問一共抓到180條的排列有多少種（也可求概率）。

分析：我們要在20個桶中一共抓取180條魚，每個桶能抓到魚的條數為0-10，仔細想下，這個問題是可以分解成子問題的：假設我們在前i個桶中抓取了k（0<=k<=10*i）條魚，那麼抓取180條魚的排列種數就等於在剩下的（20-i）個桶中抓取（180-k）條魚的方法加上前i個桶中抓取k條魚的方法。

例如，在第乙個桶中抓取了2條魚，那麼總的排列數等於在剩下19個桶中抓取178條魚的排列種數；如果在第乙個桶中抓取了10條魚，那麼總的排列數等於在剩下19個桶中抓取170條魚的排列數，，，依次分解該問題，總的排列數就等於所有這些排列數的總和。有點dp的感覺。

換個思維，在實現上這個題目可以有更為簡潔的方法，我們看看這個問題的對偶問題，抓取了180條魚之後，20個桶中剩下了20條魚，不同的抓取的方法就對應著這些魚在20個桶中不同的分布，於是問題轉化為將20條魚分到20個桶中有多少中不同的排列方法（這個問題當然也等價於180條魚分到20個桶中有多少種不同的方法）？其中，每個桶最多放10條，最少放0條。這樣一轉化，無論是用搜尋還是dp，問題規模都縮小了很大一塊。

按照這個分析，最直接的方法就是用遞迴了，遞迴實現dp問題，自頂向下，為了防止重複計算子問題（例如求19個桶放12條魚的方法數時算了一遍子問題17個桶放10條魚的方法數，在算18個桶，17個桶時就不用再計算17個桶放10條魚的情況了），一般設定乙個備忘錄，記錄已經計算過的子問題，其實這個備忘錄就是在自底向上實現

dp時的狀態轉移矩陣。

遞迴實現，如果桶沒了，魚還有，說明這種排列不符合要求，應該結束並返回0；如果桶還有，魚沒了，說明這種排列也不符合要求；只有在桶沒了，魚也沒了的情況下才說明20條魚恰好分放到了20個桶。根據上面分析我們知道每個桶有11種情況，**如下：

#include using namespace std; /*
撈魚：將20條魚放在20個桶中，每個桶最多可以放10條
求得所有的排列方法
dp自頂向下遞迴 備忘錄*/ 
int dp[21][21]; /* 備忘錄，儲存子問題的解; 表示前i個桶放j條魚的方法數 */
int allocate(int bucketn, int fishn)
if(bucketn == 0 || fishn < 0)
/* 如果子問題沒有計算就計算，否則直接返回即可 */
if(dp[bucketn][fishn] == 0)
}return dp[bucketn][fishn];} 
void main()
}

輸出：

結果如圖，先輸入乙個小資料驗證解是否正確，可以看出這個解是非常大的，最初實現的兩種情況都是等了好久都沒有出來結果，一種是沒有使用備忘錄，單純遞迴的搜尋，非常非常非常慢，等了兩分鐘都沒有結果；一種是沒有求對偶問題，而是求dp[20][180]也是相當的慢。

既然可以用dp，我們通常使用自底向上的方法，下面來看看非遞迴實現的方法。自底向上就需要考慮合法狀態的初始化問題，從小規模去考慮，20個桶太大，考慮零個桶，乙個桶，零個桶裝多少魚都是非法的，故就是0；乙個桶裝魚，裝0-10條魚都是合法的，其餘的就不合法了；dp[i][j]：前i個桶放j條魚的方法共分為11種情況：前i-1個桶放j-k（0<=k<=10）條魚的方法總和。我們可以得到狀態方程：

f(i,j) = sum

考慮到這，dp的程式就出來了，**如下：

#include using namespace std; /*
撈魚：將20條魚放在20個桶中，每個桶最多可以放10條
求得所有的排列方法
自底向上dp f(i,j) = sum
該方法中測試 20個桶 180條魚，與遞迴速度做對比*/ 
/* 實現1 */
int dp[21][200]; /* 前i個桶放j條魚的方法數 */
int i, j, k;
void main()
for(int i = 2; i <= bucketn; ++i)  /* 從第二個桶開始 */}}
printf("%d\n",dp[bucketn][fishn]);}}

輸出：

當我們測試20個桶放180條魚的方法，結果立即就算出來了，而用遞迴則是等了半天沒反應，由此我們可以看出效率的差別有多大。同時，兩個對偶問題的答案是一樣的，說明我們的分析是沒錯的，:-)。

其實，**還可以更簡練，仔細想想，就是初始化狀態的方法；其實初始化合法狀態完全可以這樣想，問題始終都是分解成子問題的，根據遞迴的實現方法，只有分解到0個桶裝0條魚才是合法的，那麼我們就初始化這乙個狀態為合法即可，然後從第乙個桶開始向上計算，**如下：

/* 實現2 */
int dp[21][200];
int i, j, k;
void main()}}
printf("%d\n",dp[bucketn][fishn]);
}

從遞迴到非遞迴再到現在，乙個看似規模很大很複雜的問題只用簡單的幾行**就可以解決，關鍵在於怎麼思考，要好好修煉。

總結：（全文完）

有趣的演算法撈魚問題

C語言實現撈魚問題

有趣的演算法

兩個有趣的演算法問題

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