k-svd字典學習
一、字典學習
字典學習也可簡單稱之為稀疏編碼，字典學習偏向於學習字典d。從矩陣分解角度，看字典學習過程：給定樣本資料集y，y的每一列表示乙個樣本；字典學習的目標是把y矩陣分解成d、x矩陣：
同時滿足約束條件：x盡可能稀疏，同時d的每一列是乙個歸一化向量。
d稱之為字典，d的每一列稱之為原子；x稱之為編碼向量、特徵、係數矩陣；字典學習可以有三種目標函式形式
(1)第一種形式：
這種形式因為l0難以求解，所以很多時候用l1正則項替代近似。
(2)第二種形式：
ε是重構誤差所允許的最大值。
(3)第三種形式：
l是乙個常數，稀疏度約束引數，上面三種形式相互等價。
因為目標函式中存在兩個未知變數d、x，k-svd是字典學習的一種經典演算法，其求解方法跟lasso差不多，固定其中乙個，然後更新另外乙個變數，交替迭代更新。
如果d的列數少於y的行數，就相當於欠完備字典，類似於pca降維；如果d的列數大於y的行數，稱之為超完備字典；如果剛好等於，那麼就稱之為完備字典。
二、k-svd字典學習演算法概述
給定訓練資料y，y的每一列表示乙個樣本，我們的目標是求解字典d的每一列(原子)。k-svd演算法，個人感覺跟k-means差不多，是k-means的一種擴充套件，字典d的每一列就相當於k-means的聚類中心。其實球面k-means也是一種特殊的稀疏編碼（具體可參考文獻《learning feature representations with k-means》），只不過k-means的編碼矩陣x是乙個高度稀疏的矩陣，x的每一列就只有乙個非零的元素，對應於該樣本所歸屬的聚類中心；而稀疏編碼x的每一列允許有幾個非零元素。
1、隨機初始化字典d(類似k-means一樣初始化)
從樣本集y中隨機挑選k個樣本，作為d的原子；並且初始化編碼矩陣x為0矩陣。
2、固定字典，求取每個樣本的稀疏編碼
編碼過程採用如下公式：
ε是重構誤差所允許的最大值。
假設我們的單個樣本是向量y，為了簡單起見我們就假設原子只有這4個，也就是字典d=[α1、α2、α3、α4]，且d是已經知道的；我們的目標是計算y的編碼x，使得x盡量的稀疏。
(1)首先從α1、α2、α3、α4中找出與向量y最近的那個向量，也就是分別計算點乘：
α1*y、α2*y、α3*y、α4*y
然後求取最大值對應的原子α。
(2)假設α2*y最大，那麼我們就用α2，作為我們的第乙個原子，然後我們的初次編碼向量就為：
x1=（0,b,0,0）
b是乙個未知引數。
(3)求解係數b：
y-b*α2=0
方程只有乙個未知引數b，是乙個高度超靜定方程，求解最小二乘問題。
(4)然後我們用x1與α2相乘重構出資料，然後計算殘差向量：
y』=y-b*α2
如果殘差向量y』滿足重構誤差閾值範圍ε，那麼就結束，否則就進入下一步；
(5)計算剩餘的字典α1、α3、α4與殘差向量y』的最近的向量，也就是計算
α1*y』、α3*y』、α4*y』
然後求取最大值對應的向量α，假設α3*y』為最大值，那麼就令新的編碼向量為：
x2=（0,b,c,0）
b、c是未知引數。
(6)求解係數b、c,於是我們可以列出方程：
y-b*α2-c*α3=0
方程中有兩個未知引數b、c，我們可以進行求解最小二乘方程，求得b、c。
(7)更新殘差向量y』：
y』=y-b*α2-c*α3
如果y』的模長滿足閾值範圍，那麼就結束，否則就繼續迴圈，就這樣一直迴圈下去。
3、逐列更新字典、並更新對應的非零編碼
通過上面那一步，我們已經知道樣本的編碼。接著我們的目標是更新字典、同時還要更新編碼。k-svd採用逐列更新的方法更新字典，就是當更新第k列原子的時候，其它的原子固定不變。假設我們當前要更新第k個原子αk，令編碼矩陣x對應的第k行為xk，則目標函式為：
上面的方程，我們需要注意的是xk不是把x一整行都拿出來更新（因為xk中有的是零、有的是非零元素，如果全部抽取出來，那麼後面計算的時候xk就不再保持以前的稀疏性了），所以我們只能抽取出非零的元素形成新的非零向量，然後ek只保留xk對應的非零元素項。
上面的方程，我們可能可以通過求解最小二乘的方法，求解αk，不過這樣有存在乙個問題，我們求解的αk不是乙個單位向量，因此我們需要採用svd分解，才能得到單位向量αk。進過svd分解後，我們以最大奇異值所對應的正交單位向量，作為新的αk，同時我們還需要把係數編碼xk中的非零元素也給更新了(根據svd分解)。
然後演算法就在1和2之間一直迭代更新，直到收斂。
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#更新字典第k列，phi為字典，y為樣本集、sparse為上面稀疏編碼矩陣x
def dict_update(phi, matrix_y, matrix_sparse, k):
indexes = np.where(matrix_sparse[k, :] != 0)[0]#取出稀疏編碼中，第k行不為0的列的索引
phi_temp = phi
sparse_temp = matrix_sparse
if len(indexes) > 0:
phi_temp[:, k][:] = 0
#把即將更新的字典的第k列先給設定為0
matrix_e_k = matrix_y[:, indexes] - phi_temp.dot(sparse_temp[:, indexes])#取出樣本資料中，字典第k列有貢獻的值，並求ek
u, s, v = svds(np.atleast_2d(matrix_e_k), 1)
phi_temp[:, k] = u[:, 0]
sparse_temp[k, indexes] = np.asarray(v)[0] * s[0]
return phi_temp, sparse_temp
#更新字典第k列，phi為字典，y為樣本集、sparse為上面稀疏編碼矩陣x
def dict_update(phi, matrix_y, matrix_sparse, k):
indexes = np.where(matrix_sparse[k, :] != 0)[0]#取出稀疏編碼中，第k行不為0的列的索引
phi_temp = phi
sparse_temp = matrix_sparse
if len(indexes) > 0:
phi_temp[:, k][:] = 0#把即將更新的字典的第k列先給設定為0
matrix_e_k = matrix_y[:, indexes] - phi_temp.dot(sparse_temp[:, indexes])#取出樣本資料中，字典第k列有貢獻的值，並求ek
u, s, v = svds(np.atleast_2d(matrix_e_k), 1)
phi_temp[:, k] = u[:, 0]
sparse_temp[k, indexes] = np.asarray(v)[0] * s[0]
return phi_temp, sparse_temp
2、restauration parcimonieuse d』unsignal multidimensionnel :algorithme k-svd
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機器學習（十三）k svd字典學習
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