7 7 線索二叉樹

對於普通含有

n 個結點的二叉樹來說，一共含有2n

個指標域，而實際上，樹的頂點集中元素的個數

v 和邊集中元素的個數

e的關係滿足|v

|=|e

|+1 ，也就是說在上述二叉樹中n=

e+1 ，得e=

n−1 ，共n−

1 條邊，於是只需要n−

1 個指標就可以刻畫這顆二叉樹了。但是在採用二叉鏈儲存結構的二叉樹來說，對於大多數語言來說，宣告乙個二叉樹結點，必須靜態指定兩個指標域，分別表示左孩子和右孩子，這樣必然會浪費掉n+

1 個指標，他們指向空，就等於說是完全浪費了。

因此採用線索二叉樹，就是在於充分利用這些空餘的指標，來提高一種樹的常用操作——遍歷的效率。不過實際上，往往並不會刻意去構造一顆線索二叉樹，在最後會作分析。

考慮到二叉樹的遍歷結果是乙個線性序列，因此，很自然地需要乙個東西用來表示前驅和後繼的關係。

因此定義：線索(thread)是指向當前結點的「前驅」或者「後繼」的指標。建立線索的過程稱之為線索化。

為了區分乙個結點上的指標到底是線索還是實際的孩子，我們需要使用乙個輔助標記tag_is_thread，如果為真則為線索，反之指向孩子的指標。在實際實現的過程中，往往還需要乙個頭結點（啞元），指向樹根。

因為線索確實不是很常見，因此沒有實現具體的**，基本上是參考書上的**，故此處**從略。

建立線索實際上就是在一棵已經構造好了的二叉樹上遍歷，在遍歷過程中新增線索。線索實際上是乙個將樹扁平化的過程，因此每一步新增線索的關鍵在於，要找到前驅pre。這樣cur的前驅就是pre，而pre的後繼就是cur。至於處理的位置，就是遍歷過程中應該訪問的位置。比如中序遍歷，就要在訪問左子樹和右子樹中間進行處理，這樣線索就維持了中序遍歷的前後關係。

特殊地方的處理在於啞元結點。啞元結點指向樹根，而整個遞迴過程結束時，pre恰好指向最後乙個結點。因此pre的後繼就是啞元，而啞元的前驅就是pre了。

為了遞迴過程中pre的可用性，pre是全域性變數。

實際上，利用線索，將二叉樹遍歷過程也轉化成了乙個雙向迴圈鍊錶。

使用線索就更為簡單了。首先需要借助開始的啞元結點找到序列的第乙個元素，然後一直找右孩子結點。如果是線索，直接挪向這個線索指向的結點；如果不是線索，就去找左孩子。直到回到開始的啞元結點，整個遍歷結束。

首先，較為簡單的，也就是書上提到的建立線索的演算法，是對於靜態集合而言。對於動態插入和刪除的樹（平衡搜尋樹），其在集合發生變化時，維持線索的複雜程度要高得多。

為什麼stl和linux都使用紅黑樹作為平衡樹的實現？ - 雷鵬的回答 - 知乎

況且，對於二叉樹遍歷來說，一旦「碰底」，也就是當前子樹處理完畢進行回溯，以中序遍歷為例，有左孩子的非葉子結點需要被訪問兩次（想想非遞迴，先進棧後出棧），因此，額外增加的時間開銷也最多根沒有左孩子的非葉子結點個數成正比，最壞的情況不過o(

n)，並不會增加漸進複雜度。

該回答中線索提高的效率，屬於常數優化，並且和順序結構代替鏈式結構，有效地利用了儲存器的空間區域性性也極大地提高了效率。

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