首先了解一下幾個概念。乙個是時間複雜度，乙個是漸近時間複雜度。前者是某個演算法的時間耗費，它是該演算法所求解問題規模n的函式，而後者是指當問題規模趨向無窮大時，該演算法時間複雜度的數量級。
當我們評價乙個演算法的時間效能時，主要標準就是演算法的漸近時間複雜度，因此，在演算法分析時，往往對兩者不予區分，經常是將漸近時間複雜度t(n)=o(f(n))簡稱為時間複雜度，其中的f(n)一般是演算法中頻度最大的語句頻度。
此外，演算法中語句的頻度不僅與問題規模有關，還與輸入例項中各元素的取值相關。但是我們總是考慮在最壞的情況下的時間複雜度。以保證演算法的執行時間不會比它更長。
常見的時間複雜度，按數量級遞增排列依次為：常數階o(1)、對數階o(log2n)、線性階o(n)、線性對數階o(nlog2n)、平方階o(n^2)、立方階o(n^3)、k次方階o(n^k)、指數階o(2^n)。
下面我們通過例子加以說明，讓大家碰到問題時知道如何去解決。
1、設三個函式f,g,h分別為 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn
請判斷下列關係是否成立：
（1） f(n)=o(g(n))
（2） g(n)=o(f(n))
（3） h(n)=o(n^1.5)
（4） h(n)=o(nlgn)
這 裡我們複習一下漸近時間複雜度的表示法t(n)=o(f(n))，這裡的"o"是數學符號，它的嚴格定義是"若t(n)和f(n)是定義在正整數集合上的 兩個函式，則t(n)=o(f(n))表示存在正的常數c和n0 ,使得當n≥n0時都滿足0≤t(n)≤c?f(n)。"用容易理解的話說就是這兩個函式當整型自變數n趨向於無窮大時，兩者的比值是乙個不等於0的常 數。這麼一來，就好計算了吧。
◆ (1)成立。題中由於兩個函式的最高次項都是n^3,因此當n→∞時，兩個函式的比值是乙個常數，所以這個關係式是成立的。
◆ （2）成立。與上同理。
◆ （3）成立。與上同理。
◆ （4）不成立。由於當n→∞時n^1.5比nlgn遞增的快，所以h(n)與nlgn的比值不是常數，故不成立。
2、設n為正整數，利用大"o"記號，將下列程式段的執行時間表示為n的函式。
(1) i=1; k=0
while(i1
while (x>=(y+1)*(y+1))
y++;
解答：t(n)=n1/2 ，t(n)=o(n1/2)， 最壞的情況是y=0，那麼迴圈的次數是n1/2次，這是乙個按平方根階遞增的函式。
(3) x=91; y=100;
while(y>0)
if(x>100)
else x++;
解答： t(n)=o(1)， 這個程式看起來有點嚇人，總共迴圈執行了1000次，但是我們看到n沒有? 沒。這段程式的執行是和n無關的，就算它再迴圈一萬年，我們也不管他，只是乙個常數階的函式。
乙個經驗規則
有如下複雜度關係
c < log2n < n < n * log2n < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!
其中c是乙個常量，如果乙個演算法的複雜度為c 、 log2n 、n 、 n*log2n ,那麼這個演算法時間效率比較高 ，如果是 2^n , 3^n ,n!，那麼稍微大一些的n就會令這個演算法不能動了，居於中間的幾個則差強人意。
時間複雜度的計算範例
時間複雜度：演算法中基本操作重複執行的次數是問題規模n的某個函式f（n），t（n）=o（f（n））。它表示隨問題規模n的增大，演算法執行時間的增長率和f（n）的增長率相同。
語句的頻度：是該語句重複執行的次數。
例1：交換i和j的內容。
temp=i; i=j; j=temp;
以上三條語句的頻度均為1，該程式的執行時間是與問題規模n無關的常數，因此演算法的時間複雜度為常數階，記作t（n）=o（1）。
例2：變數計數。
(1）x=0;y=0;
(2)for(k=1;k<=n;k++)
(3) x++;
(4)for(i=1;i<=n;i++)
(5) for(j=1;j<=n;j++)
(6) y++;
以上語句中頻度最大的語句是（6），其頻度為f(n)= n2,所以該程式段的時間複雜度為t(n)=o(n2)
例3：求兩個n階方陣的乘積c=a×b，其演算法如下：
#define n 100
void matrixmultiply(int a[n][n],int b[n][n],int c[n][n])
}t(n)=2n3+3n2+2n+1
lim（t(n)/ n3)=2
t(n)=o(n3)
例4：
（1）（2）for (i=1;i<=n;++i)
（3）for (j=1;j<=n;++j)
（4） for (k=1;k<=n;k++)
(5) i=1; while(i<=n) i=i*2;執行次數f(n)與n的關係是n=2^f(n)
含基本操作「x增1」的語句的頻度分別為1,n，n2和log2n
常見的時間複雜度，按數量級遞增排列依次為：常數階o(1),對數階0(log2n),線性階o(n)，線性對數階0(nlog2n)，平方階o(n2)，立方階0(n3)，指數階o(2n)。通常認為，具有指數階量級的演算法是實際不可計算的，而量級低於平方階的演算法是高效的。
演算法的時間複雜度
定義：如果乙個問題的規模是n，解這一問題的某一演算法所需要的時間為t(n)，它是n的某一函式 t(n)稱為這一演算法的「時間複雜性」。
當輸入量n逐漸加大時，時間複雜性的極限情形稱為演算法的「漸近時間複雜性」。
我們常用大o表示法表示時間複雜性，注意它是某乙個演算法的時間複雜性。大o表示只是說有上界，由定義如果f(n)=o(n)，那顯然成立f(n)=o(n^2)，它給你乙個上界，但並不是上確界，但人們在表示的時候一般都習慣表示前者。
此外，乙個問題本身也有它的複雜性，如果某個演算法的複雜性到達了這個問題複雜性的下界，那就稱這樣的演算法是最佳演算法。
「大o記法」：在這種描述中使用的基本引數是 n，即問題例項的規模，把複雜性或執行時間表達為n的函式。這裡的「o」表示量級 (order)，比如說「二分檢索是 o(logn)的」,也就是說它需要「通過logn量級的步驟去檢索乙個規模為n的陣列」記法 o ( f(n) )表示當 n增大時，執行時間至多將以正比於 f(n)的速度增長。
這種漸進估計對演算法的理論分析和大致比較是非常有價值的，但在實踐中細節也可能造成差異。例如，乙個低附加代價的o(n2)演算法在n較小的情況下可能比乙個高附加代價的 o(nlogn)演算法執行得更快。當然，隨著n足夠大以後，具有較慢上公升函式的演算法必然工作得更快。
o(1)
temp=i;i=j;j=temp;
以上三條單個語句的頻度均為1，該程式段的執行時間是乙個與問題規模n無關的常數。演算法的時間複雜度為常數階，記作t(n)=o(1)。如果演算法的執行時 間不隨著問題規模n的增加而增長，即使演算法中有上千條語句，其執行時間也不過是乙個較大的常數。此類演算法的時間複雜度是o(1)。
o(n^2)
2.1. 交換i和j的內容
sum=0； （一次）
for(i=1;i<=n;i++) （n次 ）
for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）
sum++； （n^2次 ）
解：t(n)=2n^2+n+1 =o(n^2)
2.2.
for (i=1;i
時間複雜度計算
定義 如果乙個問題的規模是n，解這一問題的某一演算法所需要的時間為t n 它是n的某一函式 t n 稱為這一演算法的 時間複雜性 當輸入量n逐漸加大時，時間複雜性的極限情形稱為演算法的 漸近時間複雜性 我們常用大o表示法表示時間複雜性，注意它是某乙個演算法的時間複雜性。大o表示只是說有上界，由定義如...
時間複雜度計算
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