時間複雜度和空間複雜度詳解

演算法的時間複雜度和空間複雜度合稱為演算法的複雜度。

1.時間複雜度

（1）時間頻度

乙個演算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機執行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個演算法都上機測試，只需知道哪個演算法花費的時間多，哪個演算法花費的時間少就可以了。並且乙個演算法花費的時間與演算法中語句的執行次數成正比例，哪個演算法中語句執行次數多，它花費時間就多。乙個演算法中的語句執行次數稱為語句頻度或時間頻度。記為t(n)。

（2）時間複雜度在剛才提到的時間頻度中，n稱為問題的規模，當n不斷變化時，時間頻度t(n)也會不斷變化。但有時我們想知道它變化時呈現什麼規律。為此，我們引入時間複雜度概念。一般情況下，演算法中基本操作重複執行的次數是問題規模n的某個函式，用t(n)表示，若有某個輔助函式f(n),使得當n趨近於無窮大時，t（n)/f(n)的極限值為不等於零的常數，則稱f(n)是t(n)的同數量級函式。記作t(n)=ｏ(f(n)),稱ｏ(f(n)) 為演算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。

時間頻度不同，但時間複雜度可能相同。如：

t(n)=n

2 +3n+4與t(n)=4n

2+2n+1它們的頻度不同，但時間複雜度相同，都為

o(n2)。

按數量級遞增排列，常見的時間複雜度有：常數階o(1),對數階o(log2n),線性階o(n), 線性對數階o(nlog2n),平方階o(n2)，立方階o(n3),...， k次方階o(nk),指數階o(2n)。隨著問題規模n的不斷增大，上述時間複雜度不斷增大，演算法的執行效率越低。

（3）最壞時間複雜度和平均時間複雜度

最壞情況下的時間複雜度稱最壞時間複雜度。

一般不特別說明，討論的時間複雜度均是最壞情況下的時間複雜度

。這樣做的原因是：最壞情況下的時間複雜度是演算法在任何輸入例項上執行時間的上界，這就保證了演算法的執行時間不會比任何更長。

在最壞情況下的時間複雜度為t(n)=0(n)，它表示對於任何輸入例項,該演算法的執行時間不可能大於0(n)。平均時間複雜度是指所有可能的輸入例項均以等概率出現的情況下，演算法的期望執行時間。

指數階0(2n)，顯然，時間複雜度為指數階0(2n)的演算法效率極低，當n值稍大時就無法應用。

（4）求時間複雜度

如果演算法的執行時間不隨著問題規模n的增加而增長，即使演算法中有上千條語句，其執行時間也不過是乙個較大的常數。此類演算法的時間複雜度是o(1)。

x=91; y=100;

while(y>0) if(x>100) else x++;

解答： t(n)=o(1)，

這個程式看起來有點嚇人，總共迴圈執行了1100次，但是我們看到n沒有?

沒。這段程式的執行是和n無關的，

就算它再迴圈一萬年，我們也不管他，只是乙個常數階的函式

當有若干個迴圈語句時，演算法的時間複雜度是由巢狀層數最多的迴圈語句中最內層語句的頻度f(n)決定的。

x=1;

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=i;j++)

for(k=1;k<=j;k++)

x++; 　　

該程式段中頻度最大的語句是(5)，內迴圈的執行次數雖然與問題規模n沒有直接關係，但是卻與外層迴圈的變數取值有關，而最外層迴圈的次數直接與n有關，因此可以從內層迴圈向外層分析語句(5)的執行次數：則該程式段的時間複雜度為t(n)=o(n3/6+低次項)=o(n3)

演算法的時間複雜度不僅僅依賴於問題的規模，還與輸入例項的初始狀態有關。

在數值a[0..n-1]中查詢給定值k的演算法大致如下：

i=n-1;

while(i>=0&&(a[i]!=k))

i--;

return i;

此演算法中的語句(3)的頻度不僅與問題規模n有關，還與輸入例項中a的各元素取值及k的取值有關: ①若a中沒有與k相等的元素，則語句(3)的頻度f(n)=n； ②若a的最後乙個元素等於k,則語句(3)的頻度f(n)是常數0。

（5）時間複雜度評價效能

有兩個演算法a1和a2求解同一問題，時間複雜度分別是t1(n)=100n2，t2(n)=5n3。（1）當輸入量n＜20時，有t1(n)＞t2(n)，後者花費的時間較少。（2）隨著問題規模n的增大，兩個演算法的時間開銷之比5n3/100n2=n/20亦隨著增大。即當問題規模較大時，演算法a1比演算法a2要有效地多。它們的漸近時間複雜度o(n2)和o(n3)從巨集觀上評價了這兩個演算法在時間方面的質量。在演算法分析時，往往對演算法的時間複雜度和漸近時間複雜度不予區分，而經常是將漸近時間複雜度t(n)=o(f(n))簡稱為時間複雜度，其中的f(n)一般是演算法中頻度最大的語句頻度。

2.空間複雜度

乙個程式的空間複雜度是指執行完乙個程式所需記憶體的大小。利用程式的空間複雜度，可以對程式的執行所需要的記憶體多少有個預先估計。乙個程式執行時除了需要儲存空間和儲存本身所使用的指令、常數、變數和輸入資料外，還需要一些對資料進行操作的工作單元和儲存一些為現實計算所需資訊的輔助空間。程式執行時所需儲存空間包括以下兩部分。

（1）固定部分

。這部分空間的大小與輸入/輸出的資料的個數多少、數值無關。主要包括指令空間（即**空間）、資料空間（常量、簡單變數）等所佔的空間。這部分屬於靜態空間。

（2）可變空間

，這部分空間的主要包括動態分配的空間，以及遞迴棧所需的空間等。這部分的空間大小與演算法有關。

乙個演算法所需的儲存空間用f(n)表示。

s(n)=o(f(n))

其中n為問題的規模，s(n)表示空間複雜度。

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