演算法互斥集合

表示互斥集合(disjoint set)時，經常會使用另一種具有獨特形態的樹結構－－並查集(union-find)資料結構。

互斥集合：

假設有n名客人參加聚會，主持人要求相同生日的人組成一隊。話音剛落，客人們立刻開始組隊。剛開始時，因為不知道哪位客人的生日與自己的生日相同，所以大家只能單獨徘徊。不過，只要找到1名相同生日的客人，兩人就會開始結伴移動。若發現另乙個相同生日的隊伍，就會與這支隊伍合併。

應該使用何種資料結構表示這種情況呢？對參加聚會的全體客人的集合而言，隊伍是將些集合分割為若干部分的子集合。而每個隊由生日相同的客人組成，所以每名客人都不可能屬於乙個以上的隊伍。這種沒有共同元素的子集合稱為互斥子集合，儲存這種資訊並對其進行操作的資料結構就是並杳集資料結構。

為了表示這種情況，首先需要把客人表示為0到n-1之間的元素，然後生成只包含1個元素的n個集合。兩名客人a和b的生日相同時，合併包含二者的集合。為了實現該過程，需要如下3種運算。

1、初始化：初始化為n個元素被包含於各自集合的形式

2、並集(union)運算：給出兩個元素a和b時，合併兩個元素所在集合

3、查詢(find)運算：給出了某個元素a時，返回此元素所在集合

利用陣列表示互斥集合：

利用一維陣列就能非常簡單地表示互斥集合。生成如下形式的陣列belongsto。

belongsto[i] = 第i個元素所屬的集合序號

此方式並集運算耗時，雖然查詢o(1)

利用樹結構表示互斥集合：

同屬於乙個集合的元素繫結到乙個樹結構。

struct *****disjointset

互斥集合的優化：

如果最後生成高度為n-1的樹，則是鍊錶，那麼合併和查詢運算都會耗費o(n)的運算時間。

最簡單的方法是，合併兩個樹時，把高度更低的樹新增到高度更高的樹，以限制樹高的增加

struct optimizeddisjointset {

vectorparent, rank;

*****disjointset(int n) : parent(n) , rank(n, 1) {

for (int i=0; iint find(int u) const {

if (u == parent[u]) return u;

return parent[u] = find(parent[u]);

void merge(int u, int v) {

u = find(u); v = find(v);

if (u == v) return;

if (rank[u] > rank[v]) swap(u, v);

parent[u] = v;

if (rank[u] == rank[v]) ++rank[v];

時間複雜度：並集為o(lgn)，查詢為o(lgn)

另一種優化方法是路徑壓縮優化

示例：判斷圖的連通性

示例：追蹤最大集合

演算法 互斥集合