徹底理解樣本方差為何除以n 1

設樣本均值為

很多人可能都會有疑問，為什麼要除以n-1，而不是n，但是翻閱資料，發現很多都是交代到，如果除以n，對樣本方差的估計不是無偏估計，比總體方差要小，要想是無偏估計就要調小分母，所以除以n-1，那麼問題來了，為什麼不是除以n-2、n-3等等。所以在這裡徹底總結一下，首先交代一下無偏估計。

無偏估計

以例子來說明，假如你想知道一所大學裡學生的平均身高是多少，乙個大學好幾萬人，全部統計有點不現實，但是你可以先隨機挑選100個人，統計他們的身高，然後計算出他們的平均值，記為統計的樣本均值也是乙個隨機變數，。無偏估計的意義是：在多次重複下，它們的平均數接近所估計的引數真值。

介紹無偏估計的意義就是，我們計算的樣本方差，希望它是總體方差的乙個無偏估計，那麼假如我們的樣本方差是如下形式：

那麼，我們根據無偏估計的定義可得：

由上式可以看出如果除以n，那麼樣本方差比總體方差的值偏小，那麼該怎麼修正，使得樣本方差式總體方差的無偏估計呢？我們接著上式繼續化簡：

到這裡得到如下式子，看到了什麼？該怎修正似乎有點眉目。

如果讓我們假設的樣本方差

總體方差

的無偏估計呢？

則：

因此修正之後的樣本方差的期望是總體方差的乙個無偏估計，這就是為什麼分母為何要除以n-1。