原文：
前面我們講到頻繁項集挖掘的關聯演算法apriori和fp tree。這兩個演算法都是挖掘頻繁項集的。而今天我們要介紹的prefixspan演算法也是關聯演算法，但是它是挖掘頻繁序列模式的，因此要解決的問題目標稍有不同。
首先我們看看項集資料和序列資料有什麼不同，如下圖所示。
左邊的資料集就是項集資料，在apriori和fp tree演算法中我們也已經看到過了，每個項集資料由若干項組成，這些項沒有時間上的先後關係。而右邊的序列資料則不一樣，它是由若干資料項集組成的序列。比如第乙個序列,它由a,abc,ac,d,cf共5個項集資料組成，並且這些項有時間上的先後關係。對於多於乙個項的項集我們要加上括號，以便和其他的項集分開。同時由於項集內部是不區分先後順序的，為了方便資料處理，我們一般將序列資料內所有的項集內部按字母順序排序。
了解了序列資料的概念，我們再來看看上面是子串行。子串行和我們數學上的子集的概念很類似，也就是說，如果某個序列a所有的項集在序列b中的項集都可以找到，則a就是b的子串行。當然，如果用嚴格的數學描述，子串行是這樣的：
對於序列a=和序列b=,n≤
m n≤m
，如果存在數字序列1≤
j1≤j
2≤..
.≤jn
≤m1≤j1≤j2≤...≤jn≤m
, 滿足a1
⊆bj1
,a2⊆
bj2.
..an
⊆bjn
a1⊆bj1,a2⊆bj2...an⊆bjn
，則稱a是b的子串行。當然反過來說， b就是a的超序列。
而頻繁序列則和我們的頻繁項集很類似，也就是頻繁出現的子串行。比如對於下圖，支援度閾值定義為50%，也就是需要出現兩次的子串行才是頻繁序列。而子串行是頻繁序列，因為它是圖中的第一條資料和第三條序列資料的子串行，對應的位置用藍色標示。
prefixspan演算法的全稱是prefix-projected pattern growth，即字首投影的模式挖掘。裡面有字首和投影兩個詞。那麼我們首先看看什麼是prefixspan演算法中的字首prefix。
在prefixspan演算法中的字首prefix通俗意義講就是序列資料前面部分的子串行。如果用嚴格的數學描述，字首是這樣的：對於序列a=和序列b=,n≤
m n≤m
，滿足a1=
b1,a
2=b2
...a
n−1=
bn−1
a1=b1,a2=b2...an−1=bn−1,而a
n⊆bn
an⊆bn
，則稱a是b的字首。比如對於序列資料b=，而a=,則a是b的字首。當然b的字首不止乙個，比如, , 也都是b的字首。
看了字首，我們再來看字首投影，其實字首投影這兒就是我們的字尾，有字首就有字尾嘛。字首加上字尾就可以構成乙個我們的序列。下面給出字首和字尾的例子。對於某乙個字首，序列裡字首後面剩下的子串行即為我們的字尾。如果字首最後的項是項集的一部分，則用乙個「_」來佔位表示。
下面這個例子展示了序列的一些字首和字尾，還是比較直觀的。要注意的是，如果字首的末尾不是乙個完全的項集，則需要加乙個佔位符。
在prefixspan演算法中，相同字首對應的所有字尾的結合我們稱為字首對應的投影資料庫。
現在我們來看看prefixspan演算法的思想，prefixspan演算法的目標是挖掘出滿足最小支援度的頻繁序列。那麼怎麼去挖掘出所有滿足要求的頻繁序列呢。回憶aprior演算法，它是從頻繁1項集出發，一步步的挖掘2項集，直到最大的k項集。prefixspan演算法也類似，它從長度為1的字首開始挖掘序列模式，搜尋對應的投影資料庫得到長度為1的字首對應的頻繁序列，然後遞迴的挖掘長度為2的字首所對應的頻繁序列，。。。以此類推，一直遞迴到不能挖掘到更長的字首挖掘為止。
現在我們開始挖掘頻繁序列,分別從長度為1的字首開始。這裡我們以d為例子來遞迴挖掘，其他的節點遞迴挖掘方法和ｄ一樣。方法如下圖，首先我們對ｄ的字尾進行計數，得到。注意f和_f是不一樣的，因為前者是在和字首d不同的項集，而後者是和字首d同項集。由於此時a,d,e,f,_f都達不到支援度閾值，因此我們遞迴得到的字首為d的2項頻繁序列為和。接著我們分別遞迴db和dc為字首所對應的投影序列。首先看db字首，此時對應的投影字尾只有<_c>,此時_c,a,e支援度均達不到閾值，因此無法找到以db為字首的頻繁序列。現在我們來遞迴另外乙個字首dc。以dc為字首的投影序列為<_f>, ,，此時我們進行支援度計數，結果為，只有b滿足支援度閾值，因此我們得到字首為dc的三項頻繁序列為。我們繼續遞迴以為字首的頻繁序列。由於字首對應的投影序列支援度全部不達標，因此不能產生4項頻繁序列。至此以d為字首的頻繁序列挖掘結束，產生的頻繁序列為。
同樣的方法可以得到其他以,, , , 為字首的頻繁序列。
下面我們對prefixspan演算法的流程做乙個歸納總結。
輸入：序列資料集s和支援度閾值
α α
輸出：所有滿足支援度要求的頻繁序列集
1）找出所有長度為1的字首和對應的投影資料庫
2）對長度為1的字首進行計數，將支援度低於閾值
α α
的字首對應的項從資料集s刪除，同時得到所有的頻繁1項序列，i=1.
3）對於每個長度為i滿足支援度要求的字首進行遞迴挖掘：
a) 找出字首所對應的投影資料庫。如果投影資料庫為空，則遞迴返回。
b) 統計對應投影資料庫中各項的支援度計數。如果所有項的支援度計數都低於閾值
α α
，則遞迴返回。
c) 將滿足支援度計數的各個單項和當前的字首進行合併，得到若干新的字首。
d) 令i=i+1，字首為合併單項後的各個字首，分別遞迴執行第3步。
prefixspan演算法由於不用產生候選序列，且投影資料庫縮小的很快，記憶體消耗比較穩定，作頻繁序列模式挖掘的時候效果很高。比起其他的序列挖掘演算法比如gsp,freespan有較大優勢，因此是在生產環境常用的演算法。
prefixspan執行時最大的消耗在遞迴的構造投影資料庫。如果序列資料集較大，項數種類較多時，演算法執行速度會有明顯下降。因此有一些prefixspan的改進版演算法都是在優化構造投影資料庫這一塊。比如使用偽投影計數。
當然使用大資料平台的分布式計算能力也是加快prefixspan執行速度乙個好辦法。比如spark的mllib就內建了prefixspan演算法。
不過scikit-learn始終不太重視關聯演算法，一直都不包括這一塊的演算法整合，這就有點落伍了。
PrefixSpan演算法原理總結
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PrefixSpan演算法詳解
一 序列模式挖掘簡介 序列模式的概念最早是由agrawal和srikant 提出的。動機 大型連鎖超市的交易資料有一系列的使用者事務資料庫，每一條記錄包括使用者的id，事務發生的時間和事務涉及的專案。如果能在其中挖掘涉及事務間關聯關係的模式，即使用者幾次購買行為間的聯絡，可以採取更有針對性的營銷措施...