kmp最小迴圈節、迴圈週期：
定理：假設s的長度為len，則s存在最小迴圈節，迴圈節的長度l為len-next[len]，子串為s[0…len-next[len]-1]。
（1）如果len可以被len - next[len]整除，則表明字串s可以完全由迴圈節迴圈組成，迴圈週期t=len/l。
（2）如果不能，說明還需要再新增幾個字母才能補全。需要補的個數是迴圈個數l-len%l=l-(len-l)%l=l-next[len]%l，l=len-next[len]。
理解該定理，首先要理解next陣列的含義：next[i]表示前面長度為i的子串中，字首和字尾相等的最大長度。
如：abcdabc
index01
2345
67charab
cdab
cnext-10
0001
23如對於a,ab,abc,abcd，很明顯，字首和字尾相同的長度為0
對於長度為5的子串abcda，字首的a和字尾的a相同，長度為1
對於長度為6的子串abcdab，字首的ab和字尾的ab相同，長度為2
接下來舉幾個例子來說明最小迴圈節和迴圈週期：
為方便說明，先設字串的長度為len，迴圈子串的長度為l
1.s0s1s2s3s4s5 ，next[6]=3
即s0s1s2=s3s4s5
很明顯可知：迴圈子串為s0s1s2，l=len-next[6]=3，且能被len整除。
2.s0s1s2s3s4s5s6s7 ，next[8]=6
此時len-next[8]=2 ，即l=2
由s0s1s2s3s4s5=s2s3s4s5s6s7
可知s0s1=s2s3,s2s3=s4s5,s4s5=s6s7
顯然s0s1為迴圈子串
3.s0s1s2s3s4s5s6 ，next[7]=4
此時len-next[7]=3，即l=3
由s0s1s2s3=s3s4s5s6
可知s0s1=s3s4,s2s3=s5s6
從而可知s0s1s2=s3s4s5，s0=s3=s6
即如果再新增3-4%3=2個字母（s1s2），那麼得到的字串就可以由s0s1s2迴圈3次組成
這個定理可以這麼理解：
對於乙個字串，如abcd abcd abcd，由長度為4的字串abcd重複3次得到，那麼必然有原字串的前八位等於後八位。
也就是說，對於某個字串s，長度為len，由長度為l的字串s重複r次得到，當r≥2時必然有s[0..len-l-1]=s[l..len-1]，字串下標從0開始
那麼對於kmp演算法來說，就有next[len]=len-l。此時l肯定已經是最小的了（因為next的值是字首和字尾相等的最大長度，即len-l是最大的，那麼在len已經確定的情況下，l是最小的）。
如果一定仔細證明的話，請看下面：
（參考來自：有所改動）
由上，next【i】=j，兩段紅色的字串相等（兩個字串完全相等），s[k....j]==s[m....i]
設s[x...j]=s[j....i](xj=ji)
則可得，以下簡寫字串表達方式
kj=kx+xj;
mi=mj+ji;
因為xj=ji，所以kx=mj，如下圖所示
設s[a…x]=s[x..j](ax=xj)
又由xj=ji，可知ax=xj=ji
即s[a…i]是由s[a…x]迴圈3次得來的。
而且看到沒，此時又重複上述的模型，s[k…x]=s[m…j]，可以一直遞推下去
最後可以就可以遞推出文章開頭所說的定理了。
最後再舉兩個相關例子
abdabdab len:8 next[8]:5
最小迴圈節長度：3（即abd） 需要補的個數是1 d
ababa len:5 next[5]：3
最小迴圈節長度：2（即ab） 需要補的個數是1 b
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