l1自適應控制演算法是一種快速魯棒的自適應控制。該演算法實際上是模型參考自適應控制進行了改進，通過在控制律設計環節新增了乙個低通濾波器，保證了控制律和自適應律設計的分離。x˙
=ax+
bu+σ
′ 其中a
,b,σ
表示系統的不確定性，其中
a 表示被控物件本身結構的不確定性，
b表示輸入引起的不確定性，而
σ 表示系統存在的擾動，與模型參考自適應控制系統設計類似 x
˙=am
x+br
′ 其中a
m 滿足霍爾維茨條件即滿足穩定條件，r′
=wu+
θx+σ
對應可知，a=
am+b
θ ，b=
bw ，σ
=bσ′
x~˙=am
x~+b
(w~u
+θ~x
+σ~)
為了保證上式是漸進穩定的，寫出誤差方程的能量函式： v=
12x~
tpx~
+12γ
−1(w
~tw~
+θ~t
θ~+σ
~tσ~
) 其中γ
為系統的自適應增益，對上式求導，寫出能量函式導數。則可證明誤差方程在李雅普諾夫意義下穩定。
自適應律設計部分，通過對估計引數確定其數學表達，保證誤差方程在李雅普諾夫意義穩定，即對李雅普諾夫導數為負定。 w^
=−γ∫
u(pb
)tx~
dt θ
^=−γ
∫x(p
b)tx
~dt
σ^=−
γ∫(p
b)tx
~dt
上式為自適應律部分，其為對不確定引數的估計，並保證了誤差方程在李雅普諾夫意義下穩定
狀態**方程（輸入到輸出的傳遞函式）為： y~
=c(s
i−am
)−1b
(w~u
+θ~x
+σ~)
當時間趨於無窮時，可達到： y~
=−ca
−1mb
(w^u
+θ^x
+σ^)
為保證y^
=r則可得： u=
1w^(
−1ca
−1mb
r−θ^
x−σ^
) 最終控制律數學表示式為： u=
ks+k
w^(−
1ca−
1mbr
−θ^x
−σ^)
實現框圖如圖一所示，
u 輸出新增低通濾波器：ks
後，負反饋到
u 中。所以可知 u=
ks(−
1ca−
1mbr
−θ^x
−σ^−
w^u′
)控制律設計保證了輸入到y^
的穩定性，本節需要分析輸入到系統輸出的穩態效能
結論：系統誤差的l無窮範數的平方與控制系統自適應引數成反比，當自適應引數足夠大時，系統誤差在任意時刻趨近於0
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