前幾天在網上學習了一下sg函式，稍微了解了大概，覺得自己動手理一下可以加深印象。
sg函式的使用似乎都和nim遊戲有關。
首先理清幾個概念：
p點：必敗點，處於此位置時，在雙方採取最佳策略時必敗。
n點：必勝點，處於此位置時，在雙發採取最佳策略時必勝。
p點與n點的性質：
1.所有終結點都是必敗點。（比如取石子時面對三堆石子的狀態是（0,0,0），則無法取物，敗。而（0,0,0）為終結點，由此可得此性質。）
2.從必勝點n可以一步到達必敗點p；（所有能一步走到p的就是n點）
3.p只能進入n點。（通過一步只能到達n的是p點。）
通常分析必勝點和必敗點都是以終結點逆序分析的。
下面介紹sg定理和sg函式：
sg定理：
各個遊戲sg函式的nim和 等於遊戲和的sg函式。（即如果當前狀態由幾個部分組成，則當前狀態的sg等於這幾個部分sg的異或值。和nim遊戲一樣，如果每堆有x個石子，則這一堆的sg為x,n堆的sg為每堆sg的異或。）這樣就可以將遊戲劃分為若干個子遊戲，然後對每乙個子遊戲分而治之，從而簡化問題。
而bouton定理（狀態（x1,x2,x3）為必敗狀態，當且僅當x1^x2^x3=0，即nim和為0）可以看做是sg定理在nim遊戲中的運用（練習：uvalive/la 5059+uva 10561+uva 12293）。
sg函式
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於乙個集合的運算，表示不屬於該集合的最小非負整數。如：mex=3,mex=0,mex{}=0。
對於任意狀態x,定義sg（x）=mex(s),其中s是x後繼狀態的sg函式的集合。比如x有3個後繼狀態：sg（a）、sg（b）、sg（c）,則sg（x）=mex。若x為終態，則x的後繼狀態為空集，所以sg（x）=mex{}=0。即集合s的終態為空集，所以x為必敗點p 當且僅當 sg函式的終態為sg（x）=0。
（因為x為必敗點，所以當到達終態時，x的後繼為空集，即在選擇之前已經取光，無法進行任何選擇，所以sg（x）=0）
（乙個狀態是必敗態當且僅當它所有後繼都是必勝態；乙個狀態是必勝態當且僅當至少有乙個後繼是必敗態。）
來個網上的例子加深下對後繼狀態的了解。
【例項】取石子問題
有1堆n個石子，每次只能取個，先取完者勝，則各個狀態的sg值為多少？
首先知道當狀態x=0時，無法選取石子，沒有後繼狀態，所以sg[0]=mex{}=0，可以取的狀態為f=。
當前有1個石子（即面對狀態x=1），只能取走1個石子，所以剩餘個，sg[1]=mex=mex=1。
（0即為1的後繼狀態。）
當前有2個石子（即面對狀態x=2），只能取走1個石子，所以剩餘個，sg[2]=mex=mex=0。（1為2的後繼狀態。）
當前有3個石子（即面對狀態x=3），可以取走1,3個石子，所以剩餘個，sg[3]=mex=mex=1。
當前有4個石子（即面對狀態x=4），可以取走1,3,4個石子，所以剩餘個，sg[4]=mex=mex=2；
當前有5個石子（即面對狀態x=5），可以取走1,3,4個石子，所以剩餘個，sg[5]=mex=mex=3；
以此類推……
可以得到： x
0123
4567
8sg[x]01
0123
201 由上述例項可以得到sg函式求解步驟：
1.使用陣列f將可改變當前狀態的方式記錄下來。（如上述中每次只能取個石子，則f=。）
2.使用另乙個陣列標記當前狀態x的後續狀態。
3.最後模擬mex運算，即搜尋未被標記的最小非負值，將其複製給sg[x]。
4.不斷重複2-3步，至完成1-n的sg函式值。
網上還給了一道實戰演練：hdu-1848。（鏈結）
還有一些組合博弈的題目，先列下來，慢慢刷。
poj 2234 matches game
hoj 4388 stone game ii
poj 2975 nim
hoj 1367 a stone game
poj 2505 a multiplication game
zju 3057 beans game
poj 1067 取石子遊戲
poj 2484 a funny game
poj 2425 a chess game
poj 2960 s-nim
poj 1704 georgia and bob
poj 1740 a new stone game
poj 2068 nim
poj 3480 john
poj 2348 euclid's game
hoj 2645 wnim
poj 3710 christmas game
poj 3533 light switching game
主要參考部落格：
博弈sg函式
sg函式 個人認為還是用於三種方法都無法解決的情況，如按特殊數字取石子 我們把整個博弈過程抽象為有向無環圖 1.幾項準備工作 mex求最小非負整數mex 0,mex 3,mex 0 sg x mex 就是石頭變少的繼 這樣sg就滿足幾個性質 1.sg x 0時，它的後繼都不為零 2.sg x 0時，...
博弈SG函式
題意 乙個棋盤有n行，每行20格仔，都有一些棋子，兩個人輪流進行這個操作 選擇某一行乙個棋子移動到該行右邊第乙個空的格仔。不能進行的人輸。問先手是否能贏。分析 sg函式的應用，當時自己做的時候沒做出來qaq。終結點是這一行沒有棋子可以走，即0，然後逆推出其他結點的sg函式。每一行的狀態看成是乙個結點...
SG函式博弈函式
必勝點和必敗點的概念 p點 必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。n點 必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。必勝點和必敗點的性質 1 所有終結點是 必敗點 p 我們以此為基本前提進行推理，換句話說，我們以此為假設 2 從任何必勝點n 操作，至少有一種方式可以...