在資料擬合時，通常要根據已知節點來構造離散範數，並在新的範數的1意義下擬合。
離散內積：
函式f，g的關於離散點列ni
=0的離散內積為： (f
,g)h
=∑i=
0nf(
xi)g
(xi)
由此可以定義離散範數：
函式f的離散範數為： ||
f||h
=(f,
f)h‾
‾‾‾‾
‾√這種內積定義的範數和向量的2範數一致。
曲線擬合
1.給出一組離散點，確定乙個函式逼近原函式。
2.離散點的函式值時觀察得到的，肯定有誤差。
3.新的逼近手段：
—不要求經過所有的點
—盡可能表現資料的趨勢，且靠近這些點
4.這種方法就是曲線擬合：需要在給定函式空間
φ 上找到函式
ϕ , 使得
ϕ 到原函式f的距離最短。
ϕ 就叫做f在
φ 上的擬合曲線。
最小二乘問題
如上類似，給定函式空間
φ 和mi
=0為互不相同的點，找到
ϕ 使得 r2
=∑i=
0m(ϕ
(xi)
−f(x
i))2
‾‾‾‾
‾‾‾‾
‾‾‾‾
‾‾‾‾
‾⎷
最小。設φ=
span
ϕ(x)=a0
ϕ0(x
)+a1
ϕ1(x
)+⋯+
anϕn
(x)
則最小二乘問題為 ||
f(x)
−(a0
ϕ0(x
)+a1
ϕ1(x
)+⋯+
anϕn
(x))
||h
關於係數
最小。求解： ||
f(x)
−(a0
ϕ0(x
)+a1
ϕ1(x
)+⋯+
anϕn
(x))
||2h
=||f
||2h
−2(f
,a0ϕ
0(x)
+a1ϕ
1(x)
+⋯+a
nϕn(
x))h
+||a
0ϕ0(
x)+a
1ϕ1(
x)+⋯
+anϕ
n(x)
||2h
=||f
||2h
−s∑k
=0na
k(f,
ϕk)h
+∑i,
k=0n
aiak
(ϕi,
ϕk)h
=q(a
0,a1
,⋯,a
n)關於係數
最小, 那麼 ∂q
∂ai=
0,i=
0,1,
⋯,n
也即： ∑k
=0na
k(ϕi
,ϕk)
h=(f
,ϕi)
h,i=
0,1,
⋯,n
可以寫成矩陣形式，由線性無關可知，上述方程組有解。
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