假設我們建立了乙個模型，該模型的函式關係為 y=
ax+b
,並且我們收集到m個資料點用於估計
a 和
b。我們用y=
ax+b
記作 y=
ax+b
的最小二乘估計。這時候運用最小二乘準則，則需要極小化他們的平方和，即： s=
∑i=1
m[yi
−f(x
i)]2
=∑i=
1m(y
i−ai
−b)2
得到最優解的必要條件是兩個偏導數 ∂s
/∂a 和 ∂s
/∂b 等於零。於是沃恩能夠得到方程 ∂s
∂a=−
2∑i=
1m(y
i−ai
−b)x
i=0
∂s∂b
=−2∑
i=1m
(yi−
ai−b
)=0
重寫這些方程，並且帶入xi
和 yi 的值，使用消去法，我們能夠得到引數 a 和
b 的值，即： a=
m∑xi
yi−∑
xi∑y
im∑x
2i−(
∑xi)
2b=∑
x2i∑
yi−∑
xiyi
∑yim
∑x2i
−(∑x
i)2
由此我們得到了這個函式關係的的斜率和截距， a 和
b 的值可以使用計算機非常方便的計算出，我們稱用於求 a和
b 的方程為正規方程現在利用最小二乘準則來對 y=
axn形式的冪曲線進行資料擬合，
n 在此是乙個常量。同樣的，我們需要極小化其最小平方和，即： s=
∑i=1
m[yi
−f(x
i)]2
=∑i=
1m[y
i−ax
ni]2
最優化的必要條件依舊是求得偏導數 ∂s
/∂a 等於零的點，我們可以給出方程。 ds
da=−
2∑i=
1mxn
i[yi
−axn
i]=0
對該方程進行求解，我們可以得到 a=
∑xni
yi∑x
2ni
這裡得記清楚了，
n 是乙個固定值在理論上最小二乘準則的應用非常簡單，僅僅是計算出函式關係的平方和，再進行極小化，即求其導數為零的點就可以了。但是在實際應用中，存在著許多困難。
例如我們要研究 f(
x)=a
ebx的最小二乘擬合，我們會發現，對這個非線性方程組進行求解，是乙個及其困難的工作。此外還有許許多多的模型，在求解過程中會產生非常複雜的求解過程。基於這些原因，我們需要進行變換，以求得近似的最小二乘模型。
我們之前曾**過，對曲線進行擬合的時候，可以變換資料，將曲線轉變為直線，這樣可以非常方便的簡化過程的計算。
對於我們需要擬合的函式關係 f(
x)=a
xn，我們用a 記
a的估計，用n 記
n的估計，對方程的兩邊取對數，得： lny
=lna+
nlnx
經過變換後的方程構成了一條直線，所以應用我們上文所說的，對直線應用最小二乘準則得到的斜率和截距的解，我們能夠得到： n=
5∑(ln
xi)(
lnyi)
−(∑ln
xi)(
∑lnyi
)5∑(
lnxi)
2−(∑
lnxi)
2 lna
=∑(ln
xi)2
(lnyi
)−(∑
lnxi)
∑xi5
∑(lnx
i)2−
(∑lnx
i)2
通過上式兩個方程，我們就能夠簡單求得變換後的冪曲線簡單的的未知量。
假設我們得到了乙個模型，該模型的函式關係為 y=
ax2 ，我們獲取到該模型的相關資料點
x
0.51.01.5
2.02.5
y0.7
3.47.2
12.4
20.1
我們先使用對其進行資料擬合，將資料代入方程 a=
∑xni
yi∑x
2ni
可以得到最小二乘近似模型 y=
3.1869x2
接著我們採用變換資料的方式來對模型進行擬合，將函式兩邊取對數，得 lny
=lnai
+2lnx
將資料代入該方程，我們可以得到y=
3.1368x2
兩個結果看起來差異並不大，但是因為這是乙個指數型的函式，當
x 的值越大，差異會變的極其明顯。我們可以嘗試對資料進行**，當x=
2.25
時，兩個方程分別得到
16.1337
和 15.8801
。兩個**值有了顯著的差異。因此我們可以得到兩個事實
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最小二乘擬合 6 7 最小二乘擬合問題
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