時域訊號的離散會導致頻域的週期延拓，只有滿足不低於訊號最高頻率兩倍的取樣率取樣，才不會導致頻域週期延拓後的混疊，才有可能不失真地恢復源訊號。
在頻域上看，恢復訊號就是用乙個理想低通濾波器與時域訊號的頻譜相乘，以得到頻域的第乙個週期，而頻域的理想低通濾波器，也就是頻域矩形窗，經過傅利葉逆變化後在時域是無限長的內插函式，是非因果的
非因果系統：系統的當前輸出只與當前或者之前的輸入有關，而與之後的輸入無關
乙個時域時域無限長的響應，系統在t = 0輸入，但系統在t<0時就開始有響應了，所以這個系統是非因果的，是物理不可實現的。
用matlab**取樣訊號的恢復,連續模擬訊號可看做取樣率無窮大的離散數碼訊號，因此，離散訊號的恢復可看做乙個插值的過程
前面提到恢復訊號可以在頻域低通濾波，頻域相乘對應著時域卷積，因此過取樣可以在時域用內插函式與源訊號卷積實現,卷積公式如下 y(
t)=∑
−∞m=
+∞xa
(m∗t
s)si
n[π(
t−m∗
ts)/
ts]π
(t−m
∗ts)
/ts
其中t的時間間隔就是過取樣後的取樣間隔，用matlab**如下
clear all;
close all;
n = 15; %取樣數量
f = 1; %訊號頻率1hz
fs = 10; %取樣頻率 10hz
ts = 0.1; %取樣間隔
t = n*ts; %取樣時長
n = 0:n-1; %時域取樣序列(n個取樣)
np = floor( (1/f)/(ts) ); %1個週期取樣點數
%為了清楚顯示波形,只畫1個週期
nts = n*ts; %時域取樣時間序列
ts = 0:ts:ts*n;
x = sin(2*pi*f*ts); %時域取樣,
subplot(311);
stem(ts,x);
title(['取樣訊號,ts=' num2str(ts)]);
%下面是為了更好地顯示出待取樣訊號的波形
ts1 = 0.001;
np1 = floor( (1/f)/(ts1) );
t1 = [0:t/ts1-1]*ts1;
f1 = sin(2*pi*t1);
hold on;
plot(t1,f1,'r-');
hold off;
%下面開始用內插法重建訊號
%取樣訊號: x(n)=f
%取樣間隔: t=ts
%原理(內插法): y(t)=σx(n)sinc((t-nts)/ts)
t1 = 0; %開始時間
t2 = 1/f; %結束時間(取訊號的1個週期)
interpfac = 10;
fs_sinc = interpfac*fs;%內插函式的取樣率，即源訊號過取樣的取樣率，預設10倍過取樣
dt = ts/interpfac;
t=t1:dt:t2;
delay = dt*0;
ta=t1:dt:ts*n;
fa = zeros(length(ta),1);
% figure,
for t = 0:length(ta)-1
%求過取樣後的每個值
for m = 0:length(nts)-1
%累加sinc與原函式對應點的積
fa(t+1) = fa(t+1) + x(m+1)*sinc((t*dt - delay - m*ts)/ts) ;
% stem(ta,sinc((ta - delay - m*ts)/ts)),
% hold on,stem(ts,x,'r'),
% hold on,plot(ta,fa,'x'),
% hold off
endend
%fa = f * sinc( fs*(ones(length(nts),1)*t - nts'*ones(1,length(t))) );
subplot(312);
% plot(t,fa);
stem(ta,fa)
title('重建訊號(內插法)');
%figure,stem(ta,sinc((ta - delay - n*ts)/ts)),hold on,stem(ta*4,f(1:41),'r')
%得到小數時延訊號
delayed_f = fa(mod(1:length(fa),interpfac)==1);%按源訊號的取樣間隔取值
% delayed_f = [fa(1),delayed_f']';
subplot(313),stem(ts,delayed_f);
% fa = f * sinc( fs*(ones(length(nts),1)*t - nts'*ones(1,length(t))) );
% subplot(212);
% % plot(t,fa);
% stem(t,fa)
% title('重建訊號(內插法)');
卷積計算如**中的迴圈部分，迴圈中注釋部分可以看到移位計算的過程，另外，插值計算可以引出分數時延濾波器，**改變delay的值可以實現簡單的分數時延
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