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二叉搜尋樹
這裡介紹二叉搜尋樹（binary search tree）
二叉搜尋樹，顧名思義，本質上也是一棵二叉樹
二叉樹在計算機中是一種非常常用的資料結構，選擇什麼型別的二叉樹
很多時候要根據需要解決的問題而定
使用資料結構的核心是要解決問題，而並非是為了使用資料結構而使用
資料結構
使用二叉樹並不是因為二叉樹很酷，很炫，聽起來很專業，而是因為二
叉樹能夠高效的解決一類問題
二叉搜尋樹解決的一類問題就是在計算機中非常常見的查詢問題
「查詢問題是計算機中非常重要的基礎問題」
可能很多人會覺得這個問題非常簡單，就是在一組資料中找到某
個資料，但是仔細想一想就會發現，查詢問題雖然描述出來很簡
單，但是它的應用卻非常廣泛
從去銀行辦理業務時，銀行根據證件號碼從系統中調出相應的信
息，到在
google 中搜尋內容時，google 根據關鍵字來查詢相
關的資訊 …
查詢問題，是乙個聽起來非常樸素，實際上卻非常困難，被研究
的非常廣泛的一類問題
「查詢問題，即 search problem」
二叉搜尋樹的優勢
事實上，二叉搜尋樹，通常都用於實現
查詢表有的地方，也稱
查詢表為
字典，如下：
key1
value1
key2
value2
key3
value3
key4
value4
key5
value5
即對於這些資料而言，都是乙個乙個鍵值對，即
key-value
對應的資料對，給你乙個
key，相應的就有乙個 value
這樣大量的資料對，集合在一起就形成了一張表，在這張表
中通過鍵（key）就能直接查到對應的值（value）
最典型的乙個應用就是字典。對於乙個字典來說，鍵（key）
就是乙個個單詞，而值（value）就是單詞的釋義
這也是查詢表有時候也被稱為字典這樣一種資料結構的原因
如果這些
key 都是整數，而且範圍比較小，那麼使用陣列就可以輕易
地用索引直接來索引到相應的
value
但在實際的業務邏輯中，很多時候不能用整數來表達這樣的鍵（key），
或者是因為這些鍵（key）相對比較稀疏，使用陣列在空間上並不經濟，
或者是因為這些鍵（key）壓根就不能用整數來表示
例如：字典的鍵（key）其實是乙個字串
這種情況下，就需要實現乙個查詢表，而實現查詢表的最基礎的乙個
方式是實現二叉搜尋樹
當然，也完全可以用
普通陣列
或順序陣列
來實現這個乙個查詢表
查詢元素
插入元素
刪除元素
普通陣列
o(n)
o(n)
o(n)
順序陣列
o(lgn)
o(n)
o(n)
二分搜尋樹
o(lgn)
o(lgn)
o(lgn)
可以簡單分析一下使用普通陣列
或順序陣列的時間效率：
1）使用普通陣列：
查詢乙個元素，就需要使用 o(n) 的時間從頭到尾遍歷一遍，看要找的
那個元素在陣列的什麼位置
插入乙個元素，也需要使用
o(n) 的時間從頭到尾遍歷一遍，因為對於
查詢表來說，需要先看一看當前查詢表中是否已經含有要插入的元素。
如果沒有，再插入；如果有的話，就應該是對
key 相應的
value 進行
乙個更新操作
刪除乙個元素，也需要使用 o(n) 的時間從頭到尾遍歷一遍，來刪除相
應的元素
2）使用
順序陣列：
要一直保證這個陣列是有序的。這樣一來，查詢乙個元素就可以使用
二分查詢法，用
o(lgn) 的時間進行查詢，但對於插入乙個元素和刪除
乙個元素來說，依然要使用
o(n) 的時間
相較而言，二叉搜尋樹就高效很多，它能夠保證查詢、插入、刪除這
三個操作的時間複雜度近乎都是
o(lgn) 級別的
所以，二叉搜尋樹的優勢：
1）高效
不僅可以高效查詢資料，還可以高效地插入資料、刪除資料
- 動態維護資料
也就是說，如果能一下就把所有的資料拿到手，那可能先對資料進行排序再
使用二分查詢法，就足夠了
但在很多時候，查詢、插入、刪除這三個操作，在業務的過程中都是要涉及
的，因此，二叉搜尋樹提供了乙個可以非常高效地動態維護資料的方式
2）可以方便地回答很多資料之間的關係問題，如下：
min、max、floor、ceil、rank、select
可以輕易地找到所有資料中的最小值
min、最大值 max，某個資料的
floor
相應的值、ceil 相應的值，還有給定乙個資料，求它的排名
rank，以及找
到所有資料中某排名（如：第 100 名）的資料
select
二叉搜尋樹的定義
如下圖所示，是一棵二叉搜尋樹：
二叉搜尋樹，是指一棵空樹
或者具有下列性質的二叉樹：
1）若任意節點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值
2）若任意節點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值
3）任意節點的左、右子樹也分別為二叉搜尋樹
4）沒有鍵值相等的節點
即1）每個節點的鍵值都大於左孩子
2）每個節點的鍵值都小於右孩子
不難看出，二叉搜尋樹的定義中天然就包含了遞迴結構
正因為如此，在對二叉搜尋樹程式設計時，很多時候都可以使用遞迴函式的方式，
方便快速地實現很多功能
注意：對於堆來說，堆的那棵二叉樹一定是一棵完全二叉樹，但對於二叉搜尋
樹來說，是沒有這個限制的，如下：
換句話說，上圖中的這棵樹，也是二叉搜尋樹，即
二叉搜尋樹，不一定是
完全二叉樹
在實現堆的時候，是利用了堆一定是一棵完全叉樹的特點，所以能用陣列
來表示堆，但二分搜尋樹不一定是完全二叉樹，所以用陣列表示並不方便
因此，通常是設立
node 節點，來表示 key-value 這樣的資料對，而節點
之間的聯絡，則使用指標的方式來表示
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二叉搜尋樹 二叉搜尋樹
題目 二叉搜尋樹 time limit 2000 1000 ms j a others memory limit 32768 32768 k j a others total submission s 6945 accepted submission s 3077 problem descripti...
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樹 二叉樹 二叉搜尋樹
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