排隊，對大多數人來說，都是日常生活中經常遇到的事。從大型商場到街角小店，從機場、火車站安檢到各類辦事處都可以看到絡繹不絕的佇列。
然而很多時候，你一定有這樣的感覺——自己選的佇列都走得很慢，甚至排到一半換個隊排，還是很慢。
那麼，究竟該如何判斷哪支隊列的移動速度最快呢？近日在澳大利亞《對話》雜誌**上，英國薩塞克斯大學統計學家尼克斯·喬治烏和恩里科·斯卡拉斯研究了排隊背後的數學問題。
如果你比較著急，可以先看結論：
鑑於大多數人是右撇子，會下意識選擇靠右的隊，那麼你可以「反其道而行」，去排最靠左的隊伍；
盡量找收銀員是女性的隊去排，因為她們通常動作更快；
在收銀員速度大致相同的情況下，重要的是「服務時間分布」概念，也就是要看結賬的商品數而非排隊的人數，另外那也意味著最短的隊或許是最慢的隊。
最短的就是最快的？並非如此
想象乙個場景：你來到一處收銀點，發現其中一排佇列都要比其他所有佇列要長，你理所當然地排在了人數較少的一排佇列後面。然而，人數最多的那一列一直在移動，你身處的較短的佇列卻幾乎紋絲不動。
在排隊的情況中，人們憑直覺選擇的佇列往往都不是最快的佇列。那麼，為什麼你一加入了那個佇列，該佇列就開始變得很慢了？有沒有任何方法能讓你知道哪排隊列是移動最快的？數學家們對排隊這一看似幾乎可以忽略的問題已經研究了多年，他們能幫助人們在排隊過程中節省更多時間嗎？
選擇最短的佇列似乎是最直觀的策略。畢竟，乙個較短的佇列可能說明這一列的收銀員非常高效，而乙個長佇列可能意味著該收銀員沒有經驗，或者這一列的顧客需要結算的物品非常多。但這從大體上來講，並不是真的。
沒有留意到最關鍵的資訊，加入人數較少的佇列可能對人們來說更加不利。例如，如果乙個佇列只有兩名顧客在排隊，但他們的手推購物車都已經裝得塞不下任何東西了，而另一列四名顧客的手推車卻幾乎沒裝任何東西，而在這種情況下，人們則更願意加入後者。
如果收銀員們的效率都大體相當的話，那麼此時問題的關鍵就是每個佇列中顧客需要結算的物品總量，而不是排隊的人數。但如果手推車不是很滿，而手裡提的籃子是滿的的時候，這種情況就非常難判斷了。
排隊時間受哪些因素影響？
上述例子介紹了乙個非常通俗的概念——收銀時間分布。收銀時間分布是乙個隨機變數，用來衡量客戶收銀結賬的過程所需時間。這個概念包含了每個顧客平均的結算時間以及所有顧客所用收銀時間的標準差（standard deviation）。簡單來講，這個概念代表著不同顧客所需收銀時間的時間區間。
另乙個非常重要的變數則是其他顧客加入佇列的頻率，也就是達到率（arrival rate），而這取決於兩個連續進入商店顧客之間的平均時間。在特定的時間區間內，加入佇列等待被結賬的人越多，那麼佇列也就越長。
根據以上被提及的變數，最短的佇列可能是排隊時間最短的乙個，但也可能不會。例如，在魚店或是電腦晶元店這種地方，可能兩個收銀員在同時接受訂單和為顧客結賬。在這種情況下，加入最短佇列當然是最好的選擇，因為收銀員接收訂單所需時間變化並不太大。
然而不幸的是，在現實中，當你進入一家商店時，很難確切知道相關的變數是什麼。所以人們仍然只能靠猜來判斷最快的佇列加入，或是依賴某些心理學等技巧，比如加入最左邊的佇列，因為大多數右撇子都會自動向右轉。
一旦你進入了佇列，你就會想知道你是否做出了正確的選擇。例如，你所在佇列的收銀員效率是不是最高的？觀察到實際的佇列長度是很容易的，你也可以嘗試將該佇列長度與所有佇列長度的平均值進行比較。
值得注意的是，通過計算收銀時間平均值和標準差的方式來判斷的方式，最早是2023年著名的pollaczek-khinchine公式提出的。除了收銀時間的平均值和方差外，該公式中還將每名顧客達到的平均時間納入了考慮。
排隊時長應該這麼算
然而，如果你試著去測算乙個佇列第乙個人所用的結算時間的話，你很可能會覺得你選錯了佇列。這便是著名的費勒悖論（feller『s paradox）或檢驗悖論（the inspection）。從技術上來講，這並不是乙個真正意義上的邏輯悖論，但上述這種選錯佇列的情況確實與我們的直覺相反。
如果你在加入佇列時便開始測量顧客所用時間，那麼你更有可能看到的結果是，第乙個客戶所用時間可能要比平均每名顧客所用時間要長。這會讓你覺得自己很倒霉，因為選擇了等待時間更長的佇列。
檢驗悖論的原理是：假設一家銀行提供兩種服務。其中一種服務只需要5分鐘或根本不需要任何時間（0分鐘），而兩種情況的概率是完全一樣的；另外一種服務則是只需要10分鐘或者20分鐘，這種情況的概率也完全一樣。而客戶選擇任意一種服務的概率都是一樣的，因此，銀行的平均服務時間是8.75分鐘。
如果你加入佇列的時候，最前方的顧客正處於結賬中，那麼這類顧客所用時間就不可能算成0分鐘，而是5、10，或者20分鐘當中的一種，這使得這類顧客的平均所需時間超過11分鐘。事實上，在相同的情況下，這名位於佇列最前端、正處於結賬中的顧客更想要的是10分鐘或者20分鐘的服務。而這也將是佇列看上去移動得更加緩慢，這都是因為第乙個顧客已經在結賬，並且你也有其他額外的資訊。
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