離散基礎 7 模運算之負載均衡

2021-07-31 05:10:39 字數 1118 閱讀 2178

1. 模運算的定義

實數m和n,n被m除的商是⌊n

m⌋,餘數為

nmod

m , 即 n=

m⌊nm

⌋+nmod

m 。特別地,當m=1時,n=

⌊n⌋+

nmod

1 , ⌊n

⌋ , 表示n的整數部分,

nmod

1 表示n的非整數部分。

2. 基本定律

分配律: c(

nmodm)

=(cn

)mod(c

m)

3. 基本定理

二分治之遞迴定理:n=

⌈n2⌉

+⌊n2

⌋ m分非增治之遞迴定理:n=

⌈nm⌉

+⌈n−

1m⌉+

⌈n−2

m⌉+⋯

+⌈n−

m+1m

⌉ m分非減治之遞迴定理:n=

⌊nm⌋

+⌊n+

1m⌋+

⌊n+2

m⌋+⋯

+⌊n+

m−1m

4. 應用

給定n=11(11個數),m=3(排3列),不同的排列方法(任務規劃)如下: ⎡⎣

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢12

3456

78910

11⎤⎦⎥

⎥⎥⎥⎥

⎥ ⎡⎣

⎢⎢⎢1

2345

6789

1011⎤⎦

⎥⎥⎥

⎡⎣⎢⎢

⎢123

4567

891011⎤⎦

⎥⎥⎥

第乙個矩陣為原排序,第二個矩陣為m分非增治之遞迴定理的排列結果,第二個矩陣為m分非減治之遞迴定理的排列結果。顯然,後兩者排序的均衡度遠大於第一種,美觀程度上也是如此。

5. 總結

模運算負載均衡三恒等式:二分治之遞迴定理,m分非增治之遞迴定理,m分非減治之遞迴定理對演算法的均衡性的設計是有啟發的。

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