1. 模運算的定義
實數m和n,n被m除的商是⌊n
m⌋,餘數為
nmod
m , 即 n=
m⌊nm
⌋+nmod
m 。特別地,當m=1時,n=
⌊n⌋+
nmod
1 , ⌊n
⌋ , 表示n的整數部分,
nmod
1 表示n的非整數部分。
2. 基本定律
分配律: c(
nmodm)
=(cn
)mod(c
m)
3. 基本定理
二分治之遞迴定理:n=
⌈n2⌉
+⌊n2
⌋ m分非增治之遞迴定理:n=
⌈nm⌉
+⌈n−
1m⌉+
⌈n−2
m⌉+⋯
+⌈n−
m+1m
⌉ m分非減治之遞迴定理:n=
⌊nm⌋
+⌊n+
1m⌋+
⌊n+2
m⌋+⋯
+⌊n+
m−1m
⌋ 4. 應用
給定n=11(11個數),m=3(排3列),不同的排列方法(任務規劃)如下: ⎡⎣
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢12
3456
78910
11⎤⎦⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥ ⎡⎣
⎢⎢⎢1
2345
6789
1011⎤⎦
⎥⎥⎥
⎡⎣⎢⎢
⎢123
4567
891011⎤⎦
⎥⎥⎥
第乙個矩陣為原排序,第二個矩陣為m分非增治之遞迴定理的排列結果,第二個矩陣為m分非減治之遞迴定理的排列結果。顯然,後兩者排序的均衡度遠大於第一種,美觀程度上也是如此。
5. 總結
模運算負載均衡三恒等式:二分治之遞迴定理,m分非增治之遞迴定理,m分非減治之遞迴定理對演算法的均衡性的設計是有啟發的。
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