一.前言
function
min-free
(a) x <-- 0
loop
if x ∉ a then
return x
else
x <-- x + 1
其中，∉定義如下：
function ∉(x, x)
for i <-- 1 to len(x) do
if x = x[i] then
return false
else
return true
function min-free(a)
f<-- [false, false,...,false] where len(f) = n+1
for x ∈ a do
if x < n then
f[x] <-- true
for i <-- [0,n] do
iff[i] = fales then7
return i
minfree(a) = search(a, 0, len(a)-1)
search(a,l,u) = l :
a = ∅
search(a'', m+1,u): len(a')=m-l+1
search(a', l, m): 其他
其中有：
m = (l + u) / 2
a' =
a'' =
舉例：
a =
①執行search(a,0,9)，m=5，則a』=，a」=，此時len(a』)=5-0+1=6,因此執行search(a」,6,10);
②m=8,則a』=,a」=,此時len(a』)≠8-6+1,因此執行search(a』,6,8)；
③m=7,則a』=,a」=∅，此時len(a』)=7-6+1=2，因此執行search(a」,8,8);
④此時a為空，因此最小id為8。
該方法相較於方法一更加節省空間，因為方法一需要維護乙個長度為n+1的標誌陣列，當n很大時，空間上的效能代價很高。而方法二中，第一次需要o(n)次比較來劃分子串行a』和a」，第二次僅需要比較o(n/2)次……因此總的的時間複雜度為o(n+n/2+n/4…)=o(2n)=o(n)
function
get-number(n)
x <-- 1
i <-- 0
loop
if valid(x) then
i <-- i+1
if i=n then
return i
x <-- x + 1
function
valid(x)
while x mod
2 = 0
do x <-- x/2
while x mod
3 = 0
do x <-- x/3
while x mod
5 = 0
do x <-- x/5
if x = 1
then
return true
else
return false
（1）初始狀態，佇列僅含有唯一元素1，計算1*2,1*3,1*5，此時佇列變為;
（2）計算2*2,2*3,2*5新產生的元素4、6、10按順序插入佇列，此時佇列變為;
（3）計算3*2,3*3,3*5產生元素6,9,15,由於6重複,故捨棄,佇列變為;
...
function
get-number
(n) if n=1
then
return
1else
q2 <--
q3 <--
q5 <--
while n > 1
do x <-- min(head(q2), head(q3), head(q5))
if x = head(q2) then
dequeue(q2)
enqueue(q2, 2x)
enqueue(q3, 3x)
enqueue(q5, 5x)
else
if x = head(q3) then
dequeue(q3)
enqueue(q3, 3x)
enqueue(q5, 5x)
else
dequeue(q5)
enqueue(q5, 3x)
n <-- n-1
return x
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