尋找最遠點對

問題

給定平面上n個點的座標，找出距離最遠的兩個點。

分析類似於「最近點對問題」，這個問題也可以用列舉的方法求解，時間複雜度o(n^2)。

「尋找最近點對」是用到分治策略降低複雜度，而「尋找最遠點對」可利用幾何性質。注意到：對於平面上有n個點，這一對最遠點必然存在於這n個點所構成的乙個凸包上（證明略），那麼可以排除大量點，如下圖所示：

在得到凸包以後，可以只在頂點上面找最遠點了。同樣，如果不o(n^2)兩兩枚舉，可以想象有兩條平行線，「卡」住這個凸包，然後卡緊的情況下旋轉一圈，肯定就能找到凸包直徑，也就找到了最遠的點對。或許這就是為啥叫「旋轉卡殼法」。

總結起來，問題解決步驟為：

1、用graham's scanning求凸包

2、用rotating calipers求凸包直徑，也就找到了最遠點對。

該演算法的平均複雜度為o(nlogn) 。最壞的情況下，如果這n個點本身就構成了乙個凸包，時間複雜度為o(n^2)。

旋轉卡殼可以用於求凸包的直徑、寬度，兩個不相交凸包間的最大距離和最小距離等。雖然演算法的思想不難理解，但是實現起來真的很容易讓人「卡殼」。

逆向思考，如果qa，qb是凸包上最遠兩點，必然可以分別過qa，qb畫出一對平行線。通過旋轉這對平行線，我們可以讓它和凸包上的一條邊重合,如圖中藍色直線，可以注意到，qa是凸包上離p和qb所在直線最遠的點。於是我們的思路就是列舉凸包上的所有邊，對每一條邊找出凸包上離該邊最遠的頂點，計算這個頂點到該邊兩個端點的距離，並記錄最大的值。直觀上這是乙個o(n2)的演算法，和直接列舉任意兩個頂點一樣了。但是注意到當我們逆時針列舉邊的時候，最遠點的變化也是逆時針的，這樣就可以不用從頭計算最遠點，而可以緊接著上一次的最遠點繼續計算，於是我們得到了o(n)的演算法。

[cpp]view plain

copy

// 求最遠點對

#include

using

namespace

std;

struct

point

p[50005];

inttop , stack[50005];

// 凸包的點存在於stack中

inline

double

dis(

const

point &a ,

const

point &b)

inline

intmax(

inta ,

intb)

inline

intxmult(

const

point &p1 ,

const

point &p2 ,

const

point &p0)

intcmp(

const

void

* a ,

const

void

* b)

//逆時針排序返回正數要交換

void

graham(

intn)

//形成凸包

inttemp = top;

for(i = n-2 ; i >= 0 ; --i)

} introtating_calipers()

//卡殼

return

ans;

} int

main(

void

)

swap(p[0] , p[leftdown]);

graham(n);

printf("%d\n"

,rotating_calipers());

} return

}

尋找最遠點對

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