定理二
設a是滿足|a| = n 的乙個集合，且r是a上的乙個關係，那麼有
r∞sup> = r ∪ r2sup> ∪ … ∪ rnsup>.
換句話說， 計算r∞sup>時不需要比n大的r的冪。
證明 設a和b是a中的元素，假設a，x1sub>, x2sub>, … , xmsub>, b是r中一條從a到b的路徑，也就是說(a, x1sub>), (x1sub>, x2sub>), … , (xmsub>, b)都在r中。
如果xisub>和xjsub>是同乙個點，i < j, 那麼該路徑可劃分為三個塊。首先，一條從a到xisub>的路徑，然後是一條從xisub>到xjsub>的路徑，最後是
從xjsub>到b的路徑。因為xisub> = xjsub>, 中間的路徑是自迴圈的，所以我們可以略過它並把另兩條路徑拼接。這給予了我們一條更短的div>
從a到b的路徑。div>
現在使a，x1sub>, x2sub>, … , xksub>, b是從a到b的最短路徑。若a ≠ b，則該路徑上所有頂點都是不同的。否則前面的討論告訴我們我們div>
能夠找到一條更短的路徑。因此該路徑長度最多是n - 1（在|a| = n的情況下）。若a = b，根據相似的理由，a，x1sub>, x2sub>, … , xksub>
div>
是不同的，所以該路徑的長度最多為n。換句話說，若a r∞ sup>b，那麼a rksup> b，其中k滿足1 ≤ k ≤ n。因此r∞sup> = r ∪ r2sup> ∪ … ∪ rnsup>.div>
用來解決問題1的方法分別都有某些困難。繪圖法對於大的集合、關係來說是不實用的，並且也不是系統化的。運用矩陣div>
的方法在一般情況下可用，且也是足夠系統化以便電腦進行程式設計的，但它不夠有效率，且構建大的矩陣的代價大到足以被div>
禁止使用。幸運的是，有乙個更有效率的用來計算傳遞閉包的演算法，它就是warshall演算法。div>
div>
warshall演算法div>
設想有乙個在集合a = 上的關係r。若x1sub>, x2sub>, … , xmsub>是r中的一條路徑，那麼除x1sub>、xmsub>外的任何頂點是這條路div>
徑的內頂點。現在，對1 ≤ k ≤ n，我們定義乙個布林矩陣wb>
ksub>. 當且僅當從aisub>到ajsub>有r上的一條路徑時，wb>
ksub>的(i, j)位才為1，且div>
這條道路的內頂點來自集合。div>
既然任何頂點都來自，那麼當且僅當在r上有某路徑連線aisub>和ajsub>時，wb>
nsub>在(i, j)位為1。換句話說，wb>
n sub>=mb>
r∞sup>
sub>。div>
若我們定義wb>
0sub>為mb>
rsub>，那麼我們會得到乙個首位是mb>
rsub>，末位是mb>
r∞sup>
sub>的序列，我們會展現如何通過wb>
k-1sub>去計算wb>
ksub>。接著我們div>
會從矩陣mb>
rsub>開始，一次前進一步，n次之後就能得到矩陣mb>
r∞sup>
sub>。這個流程被稱作warshall演算法。矩陣與div>
div>
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